Metodo grafico in due variabili - programmazione lineare e dualità
Dopo aver disegnato il grafico, l'esercizio mi dice di trovare il vertice ottimo. Se non ho capito male, il vertice ottimo corrisponde al valore massimo (o minimo) ricavato sostituendo i miei vertici nella funzione obiettivo.
Il problema è: min z =$x_1 + 4x_2$
subject to
$x_1 +2x_2 <= 6$
$2x_1 +x_2 <= 8$
$x_1 +2x_2 >=3$
$x_1, x_2 >= 0.$
1) Lui dice: Le basi corrispondono ai punti $A (x_2, x_3, x_4), B(x_2, x_4, x_5), C(x_1, x_2, x_5), D(x_1, x_3, x_5), E(x_1, x_3, x_4)$ Perché?? Come le ricavo??
2)Calcolando il vertice ottimo come detto sopra, a me risulta essere $ z(F) = 0$ con $F(x_1 = 6, x_2 = -3/2)$ mentre la soluzione del problema mi dice che è $E(x_1 = 3, x_2 = 0)$. Addirittura lui trova solo i vertici $A,B,C,D,E$ ... $F$ Non lo considera.
Cosa sbaglio??
Soluzioni ammissibili di base
Ho il programma in forma standard:
$max z = 8x_1+3x_2$
soggetto a:
$4x_1+5x_2+x_3=10$
$4x_1+10x_2+x_4=15$
$x_2+x_5=1$
$x_1,......,x_5>=0$
Non riesco a capire come calcolare le basi ammissibili, dalla teoria mi è sembrato di capire che per farlo devo:
1)Scrivere la matrice di base $A_B$
2)Scrivere la sua inversa $(A_B)^-1$
3)Scrivere $x_B = (A_B)^-1 * b$
Però se provo a calcolare per esempio ${A_2,A_3,A_4}$
\( \displaystyle A_B=\left(\begin{array}{ccccc}
5&1&0\\
10&0&1\\
1&0&0\\
\end{array}\right) \)
il testo dice che la base ammissibile corrispondente è:
\( \displaystyle x_B=\left(\begin{array}{ccccc}
1\\
5\\
5\\
\end{array}\right) \)
Ma eseguendo i calcoli a me risulta che:
\( \displaystyle (A_B)^-1=\left(\begin{array}{ccccc}
0&1/9&-1/9\\
1&-5/9&5/9\\
0&-1/9&10/9\\
\end{array}\right) \)
Che moltiplicata per b, che dovrebbe essere \( \displaystyle b=\left(\begin{array}{ccccc}
10\\
15\\
1\\
\end{array}\right) \)
è uguale a un risultato completamente diverso da quello delle soluzioni del problema.
Cosa mi sono perso?!
