Domanda Interpolazione polinomiale

[dRic]

dato un set di N punti perché al crescere di N l'interpolazione polinomiale peggiora?

[feddy]

Tale fenomeno mi pare sia conosciuto come fenomeno di Runge.

In pratica, l'errore d'interpolazione può essere maggiorato con la quantità $ max_{x in I}|f^(n+1)(x)|*h^(n+1)/(4(n+1)) $ , dove i punti $x_0,...xn$ si trovano a distanza $h$ tra loro.

La disuguaglianza mostra che anche se per $h->0$ si ha che $h^(n+1)/(4(n+1)) ->0$, l'errore non è detto che tenda a $0$. Questo si vede che dipende dall'ordine di infinito della derivata n+1-esima.

Questo fenomeno si prova di solito sulla funzione di Runge $g(x)=1/(1+x^2)$. $x in [-5,5]$.
Nonostante questa funzione si $C^(infty)(RR)$, Runge mostrò che l'errore $g(x) - p_n(x)$ tende a crescere con $n$. Mostrò che per $|x|>3.63$ il polinomio si discosta sempre più dalla funzione oscillando molto. Una possibile soluzione a questo problema sono i nodi di Chebyshev - Lobatto.

Con MatLab puoi provare a testare questa proprietà sulla funzione di Runge

[dRic]

Grazie mille! In parole rozze (non sono fortissimo in analisi quindi correggimi se sbaglio) il senso della dimostrazione di Runge è: per far si che $ h -> 0 $ devo aumentare il numero di punti considerati (cosicché lo spazio tra loro si restringa) però se aumento il numero di punti aumento anche il grado della derivata con cui maggioro l'errore; se dunque il "numero" che mi viene fuori dalla derivata è molto più grande dell'infinitesimo di h allora sto peggiorando la situazione. Giusto? Detto questo mi chiedo: ma da cosa si deduce che posso maggiorare l'errore in quel modo? (Non voglio chiederti troppo, anche perché non so se capirei, quindi se è troppo complesso ne farò anche a meno...)

[feddy]

Esatto. Occhio però: non è detto che il limite vada a $0$, perchè come hai detto la derivata potrebbe "peggiorare" la situazione. Qualche volta potrebbe anche funzionare però.

da cosa si deduce che posso maggiorare l'errore in quel modo? (Non voglio chiederti troppo, anche perché non so se capirei, quindi se è troppo complesso ne farò anche a meno...)

Si comincia dimostrando per induzione che $ prod_(i = 0)^(n) (x-x_i)<=n!*(h^(n+1))/4 $.
Il passo base per $n=1$ si verifica facilmente. In pratica abbiamo due punti equidistanti $h$, chiamiamoli $x_0,x_1$. La funzione $|x-x_0|*|x-x_1|$ è una parabola con il massimo pari a $(h^2)/4$. Il passo iniziale è dunque provato.
Procedendo per induzione [se vuoi i passaggi te li scrivo (non sono molti), altrimenti prova tu] si trova la tesi.

Da qui si può ottenere la maggiorazione che ho scritto nel post precedente.


Notte

[Raptorista]

Vorrei aggiungere qualche commento.

dato un set di N punti perché al crescere di N l'interpolazione polinomiale peggiora?

Questa domanda è mal posta perché non è chiaro cosa significhi che "l'interpolazione peggiora": il polinomio è sempre interpolante nei punti di interpolazione, però la quantità che qui "peggiora" è \(\max_x |f(x)-p(x)|\), cioè la distanza \(L^\infty\).

Come dice feddy, il fatto che l'errore sia più piccolo di una cosa grande non significa che l'errore stesso sia per forza grande, solo che la stima dell'errore è poco utile.

il senso della dimostrazione di Runge è: per far si che $ h -> 0 $ devo aumentare il numero di punti considerati (cosicché lo spazio tra loro si restringa)

Questo è sbagliato: il problema non si può risolvere aumentando il numero di punti di interpolazione perché origina dalla scelta di punti equidistanti. La soluzione al problema è la scelta di punti di interpolazione non equidistanti tra loro.

[dRic]

@Raptorista Scusami ma non seguo molto la tua ultima osservazione. Forse perché sono abbastanza curioso, ma poco ferrato in materia. Un nostro professore nel spiegarci le interpolazioni e alcuni algoritmi che le sfruttano (tutto abbastanza semplicisticamente) ci ha detto (nel caso appunto che la funzione interpolante sia un polinomio): "più il numero di punti da interpolare cresce, più la "smoothenss" e qualità di rappresentazione di una generica funzione, garantite dall’interpolante, peggiorano". Ciò mi aveva portato a pensare che se prendo nello stesso intervallo più punti riduco anche la loro "distanza", non capisco cosa sia sbagliato.

[Raptorista]

Intendo dire: la successione \(\Pi_nf\) dei polinomi di grado \(n\) che interpolano la funzione \(f\) in \(n+1\) punti equidistanti non converge uniformemente ad \(f\).
Anzi, se insisti [aumentando \(n\)] le cose peggiorano [la distanza \(L^\infty\) aumenta].

[dRic]

Eh sì infatti! Mi sarò espresso male... comunque ho capito, grazie mille!