Gauss senza pivoting

[Controllore]

Salve a tutti! Guardando nelle vecchie tracce d'esame di Analisi Numerica, mi sono imbattuto in questa domanda:
"Sia un sistema lineare Ax=b, si descriva il metodo di Gauss senza pivoting, discutendone le proprietà di stabilità".

Io ho provato a rispondere e, per quanto riguarda il riferimento alle proprietà di stabilità, ho pensato che un'eventuale risposta potrebbe essere questa:

"Il Gauss senza pivoting risulta meno stabile di quello con pivoting parziale in quanto, qualora avessimo a che fare con una matrice A con elementi molto piccoli sulla diagonale, la matrice stessa risulterebbe mal condizionata."

A me sembra una risposta molto scarsa e, tra le altre cose, non credo sia quella ottimale. Qualcuno di voi avrebbe una risposta migliore? Grazie mille per il vostro tempo!

[saponetta]

Il problema è nelle divisioni per 0 o numeri molto piccoli. L'algoritmo senza pivoting è molto stabile per matrici a diagonale dominante proprio per questo. L'implementazione risolve in parte questo problema, infatti vai a "creare" una matrice a diagonale donminante. Inoltre risolvi quasi del tutto il problema della divisione per 0, perché se il massimo in valore assoluto è 0 su una colonna, quella matrice ha rango minore di n e quindi le soluzioni non sono univocamente determinante per quello che dovrebbe essere il teorema di Rouché-Capelli.

[Controllore]

Dunque il Gauss senza pivoting risulta stabile solo nel caso di riuscire ad ottenere una matrice a diagonale dominante senza fare il pivoting parziale? Quindi diciamo che è solo questione di fortuna: o viene una matrice triangolare superiore a diagonale dominante, o è meno stabile del pivoting parziale. Ho capito bene quello che intendevi tu? Grazie della risposta!

[saponetta]

Il discorso che hai fatto è giusto, ma devi ragionare sulla matrice in input. Nel senso che se quella è a diagonale dominante allora ok, altrimenti l'errore non è sempre piccolo.

[Controllore]

Ok, grazie mille per l'aiuto! Adesso mi è più chiaro!