Metodo delle differenze finite

[antonio9992]

Il mio telefono non mi aiuta, perdonatemi




Ho un'equazione differenziale da risolvere col metodo delle differenze finite, facciamo sia z nel piano definita nel contorno rettangolare. Se per esempio volessi calcolare con tale metodo la derivata quarta secondo y dovrei scriverla come differenza di 5 valori:

$ (partial^4z3)/(partial y^4) = z1-4z2+6z3-4z4+z5 $

z3 è il pallino blu, z5 è fuori dal contorno rettangolare

Ora io avrei un equazione per ogni nodo interno al contorno ma le incognite sarebbero di più, in z5 infatti non scrivo un equazione ma z5 sarà un incognita.

Per fissare le idee z=5 sul contorno rettangolare
E sia z regolata dall'equazione:
$ (partial^4z)/(partial y^4) + (partialz)/(partial x) =7 $

Mi sbaglio o non si può giungere ad una soluzione?

[antonio9992]

Però aggiungendo una condizione sulla derivata direzionale lungo al contorno (derivata con direzione normale al contorno) la soluzione dovrebbe essere fattibile

[Raptorista]

Se fallisci coi tuoi studi hai sicuramente un futuro come artista moderno.

Battute a parte, quando il tuo schema va fuori dal bordo in questo modo puoi utilizzare uno schema di ordine inferiore vicino al bordo oppure - meglio - utilizzare uno schema decentrato.

Moderatore: Raptorista

In ogni caso, questa discussione è materia di analisi numerica, quindi la porto nel mio regno adesso.

[antonio9992]

Con quello decentrato non esco comunque dal bordo ma nella parte superiore della figura?

Per schema di ordine inferiore vicino al bordo che intendi?

[Raptorista]

Con quello decentrato non esco comunque dal bordo ma nella parte superiore della figura?

Esci se utilizzi uno schema troppo decentrato!

Per schema di ordine inferiore vicino al bordo che intendi?

Uno schema che necessita meno punti.

[antonio9992]

Scusa forse ho capito male io il metodo, ma non c'è comunque bisogno di 5 punti, altrimenti come lo scrivo?

Se non uso le equazioni nei pressi dei bordi non ho comunque un numero di equazioni minore del numero di incognite?

[Raptorista]

Uno schema alle differenze finite approssima la derivata in un punto utilizzando un certo numero di punti intorno ad esso. Se vuoi usare uno schema a 5 punti, puoi usare il punto stesso e 2 punti su ogni lato. Se non hai 2 punti su ogni lato ma ne hai 1 e 3 allora usa uno schema a 5 punti che ne usa 1 e 3. Se ne hai 0 e 4, idem.
Se non hai 5 punti in fila, non puoi usare uno schema a 5 punti.

[antonio9992]

Si ok, ma qualsiasi schema uso il numero di incognite sarà maggiore del numero di equazioni.
A destra, a sinistra, sopra, sotto e centrato, comunque in prossimità di parte del bordo non ho equazioni, se prendo uno schema a destra non le ho in prossimità del bordo destro per esempio, ed anche col centrato ho problemi.

[Raptorista]

La tua equazione avrà pure delle condizioni al bordo, altrimenti non c'è speranza nemmeno per il problema continuo.

[antonio9992]

Non ho capito