Verificare norme matriciali sub-moltiplicative A=LU

[#Fede]

Ciao a tutti,
ho un dubbio su come dimostrare il seguente esercizio:
Verificare che per norme matriciali sub-moltiplicative ( $ ||AB||<= ||A||||B|| $ ) vale:
$ cond(A)<= cond(L)*cond(U) $

Sapendo che $ cond(A)= ||A||||A^-1||>= ||A A^-1||=||I||=\ $ , come faccio a verificare quanto richiesto?

Grazie!

[vict85]

Basta usare la definizione e le proprietà dei numeri interi. Ti dò un suggerimento:
\begin{align*}\mathrm{cond}(L)\,\mathrm{cond}(U) &= \lVert L\rVert\,\lVert L^{-1}\rVert\,\lVert U\rVert\,\lVert U^{-1}\rVert \\
&= \lVert L\rVert\,\lVert U\rVert\,\lVert U^{-1}\rVert\,\lVert L^{-1}\rVert \\
&\ge\quad \cdots \end{align*}

[#Fede]

Quindi:
$ cond(L)cond(U)=||L||||L^-1||||U||||U^-1|| $
$ =||L||||U||||L^-1||||U^-1|| $
$ >= ||L L^-1||||U U^-1||= ||I||||I||=1 $

di conseguenza cond(A)$<=$cond(L)*cond(U)?

[vict85]

No, pensavo che il mio suggerimento fosse più chiaro. Aggiungo un passaggio...
\begin{align*}\mathrm{cond}(L)\,\mathrm{cond}(U) &= \lVert L\rVert\,\lVert L^{-1}\rVert\,\lVert U\rVert\,\lVert U^{-1}\rVert \\
&= \lVert L\rVert\,\lVert U\rVert\,\lVert U^{-1}\rVert\,\lVert L^{-1}\rVert \\
&\ge\lVert L U\rVert\,\lVert U^{-1} L^{-1}\rVert \end{align*}
A questo punto devi solo sostituire i prodotti e usare la proprietà della norma ancora una volta e raggiungi la tesi.

[#Fede]

Perfetto! Grazie mille!