Azzeramento f(x) = g(x)

[dRic]

Non riesco a capire perché il nostro professore nel risolvere un esercizio, per azzerare $f(x) = g(x)$, invece di fare semplicemente $ H(x) = f(x) - g(x) = 0 $ fa $ F = (f(x))/(g(x))-1 $ e chiama $ F $ "residuo della funzione". Ho controllato con MatLab entrambi i metodi ed i risultati sono leggermente differenti: quello propinato dal professore viene $2.13*10^5$, mentre il mio $2.09*10^5$. Potreste darmi un chiarimento sulla differenza dei due "metodi"? Grazie in anticipo!

[Raptorista]

Probabilmente dipende da quale metodo utilizza per azzerare il residuo.

[dRic]

Non riporta lo svolgimento completo perché ha usato il computer per fare i calcoli. L'unica cosa che mi viene in mente è che forse il computer è più "sensibile" alla sottrazione rispetto alla divisione (nel senso di perdita di cifre significative).

[Raptorista]

Non riporta nemmeno il nome del metodo usato? O la funzione matlab/altro?

[dRic]

(MatLab) La funzione è: fsolve(fun, x0)

[PadreBishop]

Uno spunto di riflessione: come sono i gradienti di $F(x)$ e $G(x)$ ?

Un'altro spunto e' la seguente domanda... smanettando sul parametro tolleranza della funzione risolutrice, i due formalismi per il residuo sembrano convergere qualunque sia la tolleranza (sempre mantenendola sopra una soglia di errore macchina ovviamente...) dando si' risultati diversi, ma all'interno del margine definito dall'utente?

[vict85]

Siccome \(\displaystyle F = \frac{H}{g} \), \(F\) ha senso solo quando \(\displaystyle g \) è strettamente positiva o negativa nell'intorno considerato. Immagino che la scelta di \(\displaystyle F \) su \(\displaystyle G \) dipenda dai valori assunti da \(\displaystyle g \). In particolare se \( f = g + \delta \) allora \(\max_I \lvert G\rvert = \max_I \lvert f - g\rvert = \max_I \lvert \delta\rvert \) mentre \(\max_I \lvert F\rvert = \max_I \lvert f/g - 1\rvert = \max_I \lvert\delta/g\rvert \). Quindi per \(\displaystyle g \gg 1 \), la funzione \(\displaystyle F \) sarà molto più vicina allo zero di quanto non sia la funzione \(\displaystyle G \), mentre se \(\displaystyle 0 < g \le 1 \) risulterà più grande.

In generale sia sottrazione che divisione perdono cifre significative quando si ha a che fare con numeri molto simili, e \(\displaystyle F \) fa sia la sottrazione che la divisione. Pertanto dubito che la scelta del professore sia basata su questo aspetto.

[dRic]

Grazie mille per le risposte e gli spunti di riflessione. Sono presissimo dallo studio della materia in sé, quando sarò più ferrato sull'aspetto teorico tornerò a ragionare su queste particolarità dei metodi risolutivi!