Matematicamente.it

Ciao a tutti!
Come da titolo sto cercando le dimostrazioni (o comunque delle piccole spiegazioni su come arrivarci) dei due teoremi di convergenza locale e globale del metodo di newton di cui vi riporto gli enunciati:

- Teorema di convergenza globale: << Sia $ fin C^2[a,b] $ con:
1) $ f(a)\cdot f(b)<0 $
2) $ f'(x)!= 0 AA x in [a,b]$
3) $ f''(x)<= 0 vv f''(x)>= 0 AA x in [a,b] $
4) $ abs((f(a))/(f'(a)))<b-a vv abs((f(b))/(f'(b)))<b-a $
allora il metodo di newton $ AAx_0 in [a,b] $ converge a $ xi $ che è anche l'unico zero di $ f $ in $ [a,b] $ >>

- Teorema di convergenza locale: << Sia $ fin C^3[a,b] $ e risulti $ a < xi < b $, $ f(xi)=0 $, $ f'(xi) != 0 $ allora:
$ EE delta >0 |AAx in [xi-delta,xi+delta] lim_(krarroo ){x_k}=xi $
cioè esiste almeno un intorno della radice $ xi $ in cui per ogni punto iniziale $x_0$ dentro quell'intervallo il metodo di Newton converge>>

Ripeto.. mi basterebbe anche solo qualche spunto su come arrivarci Ringrazio tutti in anticipo !

Ciao, cambia il titolo riscrivendolo in minuscolo: il maiuscolo è interpretato come urlato.

Raptorista ha scritto:Ciao, cambia il titolo riscrivendolo in minuscolo: il maiuscolo è interpretato come urlato.

Fatto

Grazie!

Riguardo il tuo problema, non ho letto bene le ipotesi però io a istinto proverei a far vedere che la successione delle soluzioni approssimate \(x_k\) è monotona, visto che già sai che è limitata.

Riesumo questo mio post di parecchio tempo fa memore della difficoltà che ho incontrato nelle due dimostrazioni a suo tempo (in rete è veramente difficile trovare qualcosa) allego, per i posteri, i due teoremi di convergenza globale e locale del metodo di Newton che ho personalmente trascritto cercando di renderle il più intuitive possibili Aggiungo inoltre che non è la sola strada per dimostrare tale metodo, si ricordi infatti che il metodo di Newton può essere visto come un'iterazione di punto fisso basta quindi applicare i teoremi di convergenza di quel metodo.