Si risolva il seguente problema ai limiti
$ { ( -d/dx((1+x) d/dx u(x))=1 ),( u(0)=0),( u(1)=0):}, x \in (0,1) $
e confrontare l'andamento dell'errore in norma infinito rispetto alla soluzione analitica.
Sol.:1
All'interno della parentesi ho una $u'(x)$ che discretizzo (mediante FD del secondo ordine) tramite la matrice $D$.
Pertanto, $u'(x)$ viene approssimato come $D*\mathcal(vec(u))$.
Poi tutto questo è derivato a sua volta, perciò applico la matrice $D$ a tutta l'espressione precedente, e il problema diventa $-D*((1+x)*D*\mathcal(vec(u)))=vec(1)$.
Riscrivo il problema nella forma $vecF(u)=0$, dove $vecF=-D*((1+x)*D*\mathcal(vec(u))) - vecb$, e $b$ è un vettore che nella prima e nell'ultima componente ha $0$ e nelle restanti tutti $1$. (condizioni al bordo).
Ora arrivano i guai: i sistemi che risultano dallo schema di tipo differenze finite in genere sono non-lineari, ora quindi dovrei fare lo Jacobiano di $F(u)$, e sinceramente non saprei bene come comportarmi.
Secondo me $JF=-D*((1+x)*D)$, dove $1+x$ è un vettore $[1+x_1,...,1+x_2]$. Evidentemente però non è così perché le dimensioni delle matrici non tornano...
Insomma, non so bene come derivare la $F(u)$.
Grazie a chiunque possa aiutarmi
- Negli esercizi precedenti, diciamo che era tutto molto semplice poiché avevo le derivate ben "separate", per esempio c'erano equazioni tipo $u''(x)=cos(u(x))$, e pertanto problemi non ce n'erano. ↑