[Risolto] Problema ai limiti (BVP) con differenze finite

[feddy]

Ciao a tutti, sto facendo un po' di esercizi sui BVP (problemi ai limiti) e non riesco a risolvere il seguente:

Si risolva il seguente problema ai limiti

$ { ( -d/dx((1+x) d/dx u(x))=1 ),( u(0)=0),( u(1)=0):}, x \in (0,1) $

e confrontare l'andamento dell'errore in norma infinito rispetto alla soluzione analitica.

Sol.:¹

All'interno della parentesi ho una $u'(x)$ che discretizzo (mediante FD del secondo ordine) tramite la matrice $D$.
Pertanto, $u'(x)$ viene approssimato come $D*\mathcal(vec(u))$.

Poi tutto questo è derivato a sua volta, perciò applico la matrice $D$ a tutta l'espressione precedente, e il problema diventa $-D*((1+x)*D*\mathcal(vec(u)))=vec(1)$.

Riscrivo il problema nella forma $vecF(u)=0$, dove $vecF=-D*((1+x)*D*\mathcal(vec(u))) - vecb$, e $b$ è un vettore che nella prima e nell'ultima componente ha $0$ e nelle restanti tutti $1$. (condizioni al bordo).

Ora arrivano i guai: i sistemi che risultano dallo schema di tipo differenze finite in genere sono non-lineari, ora quindi dovrei fare lo Jacobiano di $F(u)$, e sinceramente non saprei bene come comportarmi.

Secondo me $JF=-D*((1+x)*D)$, dove $1+x$ è un vettore $[1+x_1,...,1+x_2]$. Evidentemente però non è così perché le dimensioni delle matrici non tornano...
Insomma, non so bene come derivare la $F(u)$.

Grazie a chiunque possa aiutarmi

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Note

1. Negli esercizi precedenti, diciamo che era tutto molto semplice poiché avevo le derivate ben "separate", per esempio c'erano equazioni tipo $u''(x)=cos(u(x))$, e pertanto problemi non ce n'erano. ↑

[feddy]

Che sciocco! Il mio problema stava nel fatto che ho interpretato male il testo del problema: bastava usare la regola del prodotto e tutto si riconduceva a un caso standard.