Risoluzione numerica equazione dinamica del moto

[Casti91]

Grazie dell'aiuto. Non mi è del tutto chiaro come vado ad applicare ora Runge-Kutta, è la prima volta che faccio questa cosa è la faccenda mi è un po' nebulosa. Non mi sembra di essere nella forma per la quale è prevista l'applicazione del metodo RKF45. Provo a spiegarmi meglio a costo di dire qualche cavolata: da quel che ho capito, il metodo si applica ad una EDO nella forma $dy/dt=f(t,y)$. La mia equazione alle differenze finite non mi sembra in questa forma e non riesco a riconoscere la funzione f.

Inoltre, le derivate nello spazio le tratto alle differenze finite o passo anche qui a Runge-Kutta?

[Raptorista]

Grazie dell'aiuto. Non mi è del tutto chiaro come vado ad applicare ora Runge-Kutta, è la prima volta che faccio questa cosa è la faccenda mi è un po' nebulosa. Non mi sembra di essere nella forma per la quale è prevista l'applicazione del metodo RKF45. Provo a spiegarmi meglio a costo di dire qualche cavolata: da quel che ho capito, il metodo si applica ad una EDO nella forma $dy/dt=f(t,y)$. La mia equazione alle differenze finite non mi sembra in questa forma

Adesso devi usare un piccolo trucco con cui converti un'equazione del secondo ordine scalare in una del primo ordine vettoriale.
Scrivi
\[
v = w', \quad
\vec u = \begin{pmatrix}
w \\
v
\end{pmatrix}
\]
e riscrivi l'equazione differenziale nella nuova incognita vettoriale \(\vec u\) come

\[
\vec u' = F(\vec u)
\]

e non riesco a riconoscere la funzione f.

\(f\) o \(F\) è tutto ciò che non è la derivata.

Inoltre, le derivate nello spazio le tratto alle differenze finite o passo anche qui a Runge-Kutta?

In spazio hai un problema ai limiti, non un problema ai valori iniziali, quindi non si può usare Runge-Kutta. Rimani con differenze finite che va bene.

[Casti91]

Ok, appena ho un po' di tempo mi metto a fare i conti e vedo cosa ottengo.

Ragionando sulla valutazione dell'intervallo h con cui discretizzare il dominio geometrico, stavo pensando se possa avere senso assumere il numero di nodi minimo per descrivere l'ultimo modo di vibrare a cui posso essere interessato. In altre parole, se sono interessato ai modi 1 e 2 mi sarebbero sufficienti 2 nodi interni (ossia 3 elementi). Assumendo ad esempio 10 elementi, ossia 9 nodi interni sono in grado di cogliere fino al nono modo che è fin troppo.
Può essere un scelta sensata oppure posso comunque incorrere in errori grossolani?

[Raptorista]

Non so come dimostrarlo, ma ho la sensazione che sia una scelta sbagliata. L'obiezione che mi viene è che tu non dovresti assumere niente sulla soluzione prima di averla calcolata, quindi io ti consiglio di mettere tanti nodi interni quanti il tuo pc può permettersi di calcolare in tempi ragionevoli. Siccome è un problema 1D, se lo scrivi in matlab male puoi facilmente gestire centinaia di nodi; se lo scrivi in matlab bene puoi arrivare a varie migliaia di nodi interni, sempre dipendendo dall'intervallo temporale.

[Casti91]

Sfortunatamente non ho modo di usare Matlab. Posso ricorrere solamente ad Excel. Un approccio che utilizzo di solito per modellare problemi di statica o dinamica dei cavi mediante software ad elementi finiti e che mi ha condotto a buoni risultati è la suddivisione del cavo in circa una ventina di elementi. Non ho idea se possa ripetere qualcosa di simile in questo contesto.

[Raptorista]

Deciditi: o puoi usare solo excel o puoi usare "software a elementi finiti". In ogni caso, dipende da qual è il tuo fine ultimo. Secondo me con le differenze finite te la puoi cavare senza troppi sforzi, mentre se vuoi discretizzare in spazio con elementi finiti c'è da fare qualche conto in più.

[Casti91]

Non mi sono spiegato: il problema in oggetto lo posso risolvere solo con Excel. Per problemi simili mi è capitato di usare software ad elementi finiti in cui una discretizzazione spaziale in circa 20 elementi mi ha condotto a buoni risultati (in media un cavo di 100m discretizzato in elementi da 5m). Mi chiedevo se un approccio simile possa condurre a qualcosa di sensato. Chiaramente non ho la possibilità di usare migliaia di elementi con Excel. Volevo capire se ci sono delle linee guida che mi possono aiutare a definire un numero ottimale di nodi, e procedere quindi più speditamente, oppure devo andare per tentativi e vedere cosa succede.

[Raptorista]

La linea guida è quella che ti ho dato: più nodi => minor errore. Mi rendo conto che non ti sto dando esattamente le risposte più utili possibile, però è che davvero a priori non c'è una scelta ottimale di nodi, di disposizione o altro. Ci sono tecniche avanzate che fanno cose simili ma direi che in questo caso è come usare un cannone per uccidere una zanzara, e comunque non sono fattibili con excel.