Buonasera a tutti,
Mi sono imbattuto ultimamente in un problema che non so bene come affrontare. Si tratta della soluzione numerica di una equazione differenziale alle derivate parziali deputata a descrivere la vibrazione di un cavo teso soggetto all’azione del vento e della pioggia (rain-wind induced vibration).
L’equazione in oggetto presenta la forma sotto riportata dove m, T e c sono rispettivamente la massa per unità di lunghezza del cavo, la trazione in esso agente e la costante di smorzamento strutturale intrinseco:
$m(del^2w)/(delt^2)+T(del^2w)/(delx^2)+c(delw)/(delt)=F(x,t)$
La forzante F(x,t) presenta un’espressione molto complessa legata al problema specifico dell’interazione pioggia-vento, dipendente da numerosi parametri comunque noti o determinabili sperimentalmente.
In bibliografia, la suddetta equazione viene risolta caso per caso, ricorrendo al metodo numerico Runge-Kutta-Fehlberg (RKF45). Ricercando il suddetto metodo ne ho sostanzialmente compresa la filosofia e le modalità di applicazione. Ho tuttavia sempre riscontrato che il metodo è applicato ad una EDO nella forma seguente:
$dy/dt=f(y(t),t)$
Nel caso di una EDO di ordine superiore al primo, questo non è un problema in quanto è possibile ricondursi ad un sistema composto da un numero finito di EDO nella forma richiesta.
Mi trovo tuttavia in difficoltà nel capire come sia possibile ridurre l’equazione del moto in oggetto ad una forma tale da potervi applicare il metodo RKF45.
Non ho trovato alcun esempio di soluzione del problema, bensì solamente i risultati. Ragionando, forse potrei suddividere il cavo in un certo numero di elementi ed applicare l’equazione a ciascun nodo. In tal modo questa dovrebbe potersi ridurre ad una EDO del secondo ordine dipendente solamente dal tempo e, di conseguenza, ad un sistema di due EDO del primo ordine. Ad ogni modo, se così fosse, non mi è molto chiaro come dovrei procedere.
Nella speranza che qualcuno possa fornirmi un aiuto, vi ringrazio anticipatamente