problema complesso di massimo/minimo

[raffa94]

Salve, mi servirebbe una strategia analitica per poter trovare la "x" che massimizza questa funzione:
\(f(x)=\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}p^{n-k}q^k\ln{\{1+[(n-k)\alpha-k]x\}}}\)

Sembra un compito abbastanzaa rduo, poichè con le derivate, la x va a finire al denominatore, che variando con k, porta a trovare dei minimi comuni multipli impossibili e lunghissimi anche per n=5 ad esempio. quello che mi serve è una forma esplicita per la x che massimizza quella funzione. Ho provato con qualche approssimazione di McLaurin ma non sono stato molto contento del risultato, quindi chiedo aiuto a voi. da tenere presente che alfa>0, 0<p<1, q=1-p sono tutti e 3 fissati inizialmente, invece 0<x<1, di cui vorrei trovare una forma esplicita della x che massimizza la funzione di sopra. é concesso qualunque metodo più o meno brutale e/o forzato, purchè dia un risultato molto buono.

[PadreBishop]

$n$ e' fissato?

Cosa intendi per "impossibili e lunghissimi"?

Hai provato con un qualche algoritmo di gradient descent?
Hai pensato di provare con qualche algoritmo di tipo genetico e/o sciame?

EDIT: Ho letto ora Analitica. Chiedo scusa XD

[raffa94]

$n$ e' fissato?

Cosa intendi per "impossibili e lunghissimi"?

Hai provato con un qualche algoritmo di gradient descent?
Hai pensato di provare con qualche algoritmo di tipo genetico e/o sciame?

EDIT: Ho letto ora Analitica. Chiedo scusa XD

Ciao PadreBishop, anche n è fissato. Non conosco i metodi da te citati. In ogni caso, analiticamente o no, devo trovare il modo di tirar fuori quella x ahah

[raffa94]

Up. In pratica mi serve per la tesi, non essendoci riuscito analiticamente, ho trovato il pt di massimo mediante il software R-studio. Però speravo di riuscire a fare bella figura cercando anche una piu elegante soluzione analitica!

[Raptorista]

Analiticamente non è semplice. Forse puoi tirar fuori qualcosa dal fatto che hai una somma di funzioni monotone, che sono crescenti o decrescenti al variare dei parametri \(\alpha\) e \(k\). Di per sé questo non ti da alcuna informazione utile su dove e quanti sono i minimi, però se consideri che le funzioni sono tutte a convessità costante forse riesci a tirar fuori qualcosa. Non lo so però, sto ipotizzando.

[raffa94]

Analiticamente non è semplice. Forse puoi tirar fuori qualcosa dal fatto che hai una somma di funzioni monotone, che sono crescenti o decrescenti al variare dei parametri \(\alpha\) e \(k\). Di per sé questo non ti da alcuna informazione utile su dove e quanti sono i minimi, però se consideri che le funzioni sono tutte a convessità costante forse riesci a tirar fuori qualcosa. Non lo so però, sto ipotizzando.

riguardo k si può dire poco, dato che dipende anche da $p$ e $q$. chiaramente se $p=q$ allora le funzioni sarebbero crescenti fino a $k=n/2$ e decrescenti da $k=n/2$ a n, ma $p$ e $q$ non sono mai uguali. Riguardo $alfa$, sicuramente le funzioni sono crescenti al crescere di alfa. Invece un altro risultato utile, che potrebbe servire a restringere il campo di ricerca, è che l'incognita da esplicitare, ovvero $x$, non solo è $0<x<1$, ma a dirittura $0<x< p - \frac{q}{alpha}$. Diciamo che vorrei capire anche se vale la pena sbatterci la testa e perderci tempo, oppure è uno di quei problemi a cui non c'è una soluzione.

[Raptorista]

Secondo me il gioco non vale la candela.