Ricerca punto fisso di una funzione

Messaggioda antgiun » 21/12/2017, 19:23

Salve a tutti è da ore che non riesco a capire come risolvere questo esercizio:

Determinare con il metodo delle iterazioni successive

Determinare con il metodo delle approssimazioni successive
x (k+1) =1/3(xk^2 - 1) per k = 0, 1, ... N.B.: (k+1) e k sono i pedici di x


il punto fisso x nell’intervallo [−1, 1]. Si consideri x0 = 0.
Scrivere la funzione f(x) tale per cui il punto fisso x è radice di f(x) = 0.
Dimostrare infine che g(x) = 1/3(x^2 − 1) ha un unico punto fisso in [−1, 1] e che la
successione generata dal metodo delle approssimazioni successive converge per ogni x0 ∈
[−1, 1].
antgiun
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Re: Ricerca punto fisso di una funzione

Messaggioda feddy » 26/12/2017, 00:09

ciao,
per la prima parte basta solamente utilizzare quello che dice la consegna.
Per quanto riguardo il punto fisso, se intendi la funzione $g=1/(3*(x^2-1))$, allora questa non ha un unico punto fisso in $[-1,1]$, bensì ne ha due.
Per la funzione $g=1/3 * (x^2-1)$ invece si ha un unico punto fisso in quell'intervallo: per mostrarlo è sufficiente risolvere l'equazione $x=g(x)$, che altro non è che la definizione di punto fisso. In particolare, questo significa che tale punto fisso è soluzione dell'equazione non lineare $f(x)=0$, con $f=g(x)-x$, e nel caso di unicità, viene ad essere l'unica soluzione di questa.
Per mostrare che tale successione invece converge per ogni guess iniziale $x_0 \in [-1,1]$ ti basta notare che $g$ è di classe $C^1$, continua dal compatto $[-1,1]$ in sè e che $|g'(x)|<1$ in quell'intervallo.

Quindi $g$ è una contrazione e ha un unico punto fisso e la successione converge linearmente ad esso.

Si usa il teorema delle contrazioni1

Note

  1. se $X$ è spazio metrico completo non banale e $T:X rarr X$ una contrazione, allora la mappa $T$ ammette un unico $x \in X$ tale che $T(x)=x$.
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Re: Ricerca punto fisso di una funzione

Messaggioda antgiun » 26/12/2017, 21:24

Ciao grazie della risposta. Non ho capito che sognifica imporre x=g(x).
Puoi essere più chiaro per favore? Puoi fare tutti i passaggi?
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Re: Ricerca punto fisso di una funzione

Messaggioda feddy » 27/12/2017, 01:03

E' la definizione di punto fisso. Operativamente devi risolvere l'equazione $x=g(x)$, cioè $x$ non viene "mosso" dalla funzione $g$
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Re: Ricerca punto fisso di una funzione

Messaggioda antgiun » 27/12/2017, 12:54

quindi devo risolvere l'equazione x= 1/3(x^2-1) e da qui trovo che è una equazione di secondo grado con due soluzioni di cui una è al di fuori dell'intervallo (-1;1) ed è quello il punto fisso? ho capito bene?

Poi faccio la derivata di g(x) cioè la derivata di 1/3(x^2-1)e vedo se il modulo è minore di uno.. se lo è allora la successione è convergente giusto?
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Re: Ricerca punto fisso di una funzione

Messaggioda feddy » 27/12/2017, 13:59

Quello è il punto fisso che cerchi.
Per la derivata va bene
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Re: Ricerca punto fisso di una funzione

Messaggioda antgiun » 27/12/2017, 21:34

Grazie mille molto gentile. Bione feste feddy!
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