Equazioni non lineari : punto fisso

Messaggioda GiggiSk8 » 17/01/2018, 18:04

Ho trovato un esercizio che chiede:
Dopo aver localizzato le radici dell'equazione nonlineare $ f(x) = x^3-x -5=0 $ , studiare la convergenza
del metodo di punto fisso
$ x_{k+1}=\phi(x_k) $ , $ k=0,1,... $

Applicandolo alle funzioni
...
$\phi(x) = \frac{2x^3 +5 }{3x^2 -1}$

per determinare le radici dell'equazione $ f(x) = 0$.

Tralasciando il dimostrare che la funzione ha uno zero, $\overline{x} \in [1,2]$... la soluzione dice solo che converge con ordine almeno 2.

Mentre per gli altri tipi di funzione nello stesso esercizio, viene descritto anche l'intervallo per il quale avviene la convergenza, questo punto non viene descritto. Io suppongo che non essendo specificato, questo avvenga per qualsiasi punto nel dominio.Come si può dimostrarlo?

Come faccio a dimostrare che $f^'(\overline{x}) = 0 $, per dire che è di ordine almeno 2?


Nella sezione di teoria del mio corso io ho studiato

TEOREMA
Se $ \abs{\phi'(\overline{x})} < 1 $ esiste un intorno $ I $ di $ \overline{x}$ tale che la successione $ { x_k}$ converge se $x_0 \in I $. Se viceversa $ \abs{\phi'(\overline{x})} >1$ il metodo delle iterate successive non può convergere.

TEOREMA
Se
1) $\phi \in C^1[a,b]$
2) $\phi : [a,b] \mapsto [a,b]$
3) $\exists K <1$ tale che $\abs{\phi'(x)} \leq K$ $\forall x \in [a,b]$
allore esiste uno e un solo punto fisso in $[a,b]$ e il metodo delle iterate successive converge ad esso per ogni $x_0 \in [a,b]$.

TEOREMA
Se :
1) $\phi^{(i)}(\overline{x})=0$ per $i=1,...,m-1$
2) $\phi^{(m)}(\overline{x}) \ne 0$
allora l'ordine di convergenza è $m$.

Per quanto riguarda la prima domanda non so proprio come partire.
Nella seconda potrei trovare analiticamente la soluzione e poi sostituendo alla derivata calcolare la derivata prima e verificare che è uguale a zero. Però mi sembra un po' strano che si svolga in questo modo, come posso stimare l'ordine?
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Novità : punto 2 risolto

Messaggioda GiggiSk8 » 21/01/2018, 18:02

Riguardando l'esercizio sono riuscito a risolvere il secondo quesito.

$\phi^'(x)=\frac{6x^2(3x^2-1) -6x(2x^3+5)}{(3x^2-1)^2}$
che dopo pochi passaggi si può scrivere come
$\phi^'(x)=\frac{6x(x^3-x-5)}{(3x^2-1)^2}$
Questa vale sicuramente 0 per $x=\overline{x}$ perchè in quel caso vale proprio $x^3-x-5=0$

Rimane solo da capire perchè converge partendo da qualsiasi punto. Questo succede perché é di ordine almeno 2?
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Re: Equazioni non lineari : punto fisso

Messaggioda Mat007 » 16/03/2018, 21:02

La derivata prima è uguale a zero quando il numeratore è uguale a zero. Una soluzione è zero, le altre non sto a calcolare.
È di ordine ALMENO 2...perché? Prova a calcolare la derivata seconda e vedrai la sorpresa...Con le relative soluzioni.
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Re: Equazioni non lineari : punto fisso

Messaggioda GiggiSk8 » 16/03/2018, 21:05

Non ho capito la tua risposta
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