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Hai idea di qualche libro di testo che tratti tale problema? Anche solo per avere un esempio di applicazione e fare un paragone tra i risultati che ottengo e quelli corretti.

Io l'ho studiato su Quarteroni, Modellistica numerica per problemi differenziali. Se già hai un'idea di come funzioni la cosa, puoi anche leggere da questa tesi alla sezione 3.3.2, dove è implementato un metodo esplicito per l'equazione del calore, quindi niente algebra lineare. In generale ti consiglio di evitare il problema della mesh e di scegliere una mesh strutturata in cui sai già la lunghezza dei lati e quali celle parlano con quali celle. Se scrivi del codice furbo poi diventa solo una questione di costruire la giusta matrice e fare prodotti matrice-vettore a ripetizione.