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Ciao a tutti, in un problema mi è richiesto di calcolare l'integrale della radice di x tra 0 e 1 con il metodo del trapezio e di Simpson. Dalla teoria si sa che l'errore dei due metodi va con $n^-2$ per il trapezio e con $n^-4$ per simpson, ma andando a calcolare la legge di potenza in questo caso viene che l'errore va con $n^-(3/2)$. Come si spiega? Come può essere coerente con la teoria? (n è il numero dei sottointervalli)

Grazie in anticipo

Vediamo come hai calcolato quel risultato.

Ammesso e non concesso che l'implementazione sia corretta, l'ordine dell'errore è legato alle derivate possedute dall'integranda $f=\sqrt(x)$: in particolare il metodo di Simpson dipende da $f^{(4)}(\xi)$, con $\xi$ che sta nell'intervallo $(0,1)$. Probabilmente questo comporta una certa perdita di ordine.

Ho provato in velocità a scrivere qualche riga e confermo quanto dici: l'ordine decade esattamente come $n^{-1.5}$, come mostro nel seguente codice, dove Cavalieri è una function che prende in ingresso $f$ definite come function handle, gli estremi $a,b$ sopra definiti e il numero di nodi. Per comodità ti metto la function Cavalieri in spoiler, ma l'ho scritta in 5 minuti, senza pensarci neanche ed è la versione naive.

Codice:

clear all
close all

nrange=[100:10:2000];
a=0;b=1;
f=@(x) sqrt(x);
I_ex=quad(f,a,b); %calcolo il risultato di riferimento
err=NaN;
count=0;
for n=nrange
   count++;
   I=Cavalieri(f,a,b,n);
   err(count)=abs(I-I_ex);
end

loglog(nrange,err,'*',nrange,err(end)*(nrange/nrange(end)).^(-4),'r',...
nrange,err(end)*(nrange/nrange(end)).^(-1.5),'k')
legend('err','n^-4','n^-1.5')
xlabel('n')
ylabel('err')




A conferma di quanto detto:



Edit
Ho visto ora la risposta di Raptorista

Raptorista ha scritto:Vediamo come hai calcolato quel risultato.

L'ho ottenuto calcolando l'errore per entrambi i metodi e facendo un grafico log-log tra numero di sottointervalli ed errore. Per entrambi i metodi la retta ha una pendenza di -1.5, che è l''esponente di n. Non mi spiego come questo possa essere coerente con la teoria.

E come si spiega questo fatto?

Ho scritto la mia ipotesi nelle prime righe. Per sicurezza aspetterei la risposta di Raptorista.

Se andiamo a prendere l'errore $E(n)=kn^(-4)$ con k che contiene la lunghezza dell'intervallo, la derivata quarta eccetera, e ne facciamo il logaritmo decimale: $log(E)=log(k)-4log(n)$, la derivata quarta va a modificare quindi solo l'intercetta della retta ma l'esponente della n dovrebbe essere invariato.

EDIT ho visto pra la tua risposta scusa

Non preoccuparti, piuttosto evita di citare tutto il mio messaggio quando rispondi

Succede la stessa cosa se fai l'integrale in un intervallo non problematico, per esempio \([0.5,1]\)?

Ciao Raptorista,

in questo caso (col mio codice, che suppongo essere lo stesso dell'OP) trovo l'ordine di convergenza aspettato.