Risoluzione metodo iterativo

[Shred]

CIao a tutti, ho un problema con questo es, non riesco a capire se per la risoluzione devo considerare il metodo iterativo come punto fisso oppure no

es:
Si consideri il seguente metodo iterativo:

$ x(k+1)=x(k)-alphaf(x) $

per risolvere l'equazione f(x)=0.

a)Dire per quali valori del parametro a $ alpha in R $ il metodo risulta convergente,
b)Dimostrare che il metodo ha ordine di convergenza p=1 nel caso generale.
c)Determinare un valore $ alpha $ per cui il metodo ha,invece, ordine p=2.

[feddy]

ciao,

consideralo come un'iterazione funzionale $x_k=\phi(x_k)$, dove $\phi(x_k)=x_k - \alpha f(x_k)$. Il calcolo degli zeri di $f$ è dunque ricondotto alla ricerca dei punti fissi di $\phi$. Se guardi sul tuo quaderno di teoria, o su un qualunque libro di testo, troverai le risposte. Ad esempio, sai che se $c$ è un punto fisso di $\phi$ ( $\phi \in C^{1}$,ecc.) e vale che $|\phi(c)'| <1$, allora il metodo iterativo è sicuramente convergente. Se c'è uguaglianza, in generale, nulla si può dire.

[Shred]

ciao,

consideralo come un'iterazione funzionale $x_k=\phi(x_k)$, dove $\phi(x_k)=x_k - \alpha f(x_k)$. Il calcolo degli zeri di $f$ è dunque ricondotto alla ricerca dei punti fissi di $\phi$. Se guardi sul tuo quaderno di teoria, o su un qualunque libro di testo, troverai le risposte. Ad esempio, sai che se $c$ è un punto fisso di $\phi$ ( $\phi \in C^{1}$,ecc.) e vale che $|\phi(c)'| <1$, allora il metodo iterativo è sicuramente convergente. Se c'è uguaglianza, in generale, nulla si può dire.

ok, perfetto bisogna applicare p. fisso, io ho provato a risolverlo così:

a) $ x_(k+1)=x_k-alphaf(x) $

$ g'(x_k)=1-alphaf(x) $

impongo per la convergenza $ g'(x_k)<1 $

$ abs(1-alphaf(x))<1 $

ottengo $ -2<-alphaf(x)<0 $


b) se deve avere p=1 allora $ g'(\xi)!= 0 $
allora se $ g'(\xi)!= 0 $ deve essere $ alpha!= 1/(f'(x)) $

c) se deve avere p=2 allora $ g''(\xi)!= 0 $
quindi $ alpha != 0 $

può essere corretto?

[feddy]

Mi pare ci siamo, salvo delle sbavature.
Quando imponi la convergenza deve essere $|g'(\xi)|<1$, non senza modulo, ho comunque visto che poi nel procedimento hai considerato il modulo, solo che non hai considerato la derivata di $f$.

Per gli altri due punti hai giustamente utilizzato questa proprietà:

Se $g \in C^{p+1}(I)$, $I$ intorno del punto fisso $c$ e $p \geq 1$, e se $g^{(i)}(c)=0$ per $i=1, \ldots,p$, ma $g^{(p+1)}(c) \ne 0$, allora lo schema punto fisso con funzione di iterazione $g$ ha ordine $p+1$.

Tuttavia consideri la funzione valutata in $x$, invece che in $\xi$.

[Shred]

Si, mi sono appena accorto degli errori da te evidenziati, grazie mille

[feddy]

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