Quale metodo converge più velocemente ?

[Shred]

Qualcuno potrebbe dirmi se è giusta la risposta a questo quesito?

Sia data l'equazione f(x)=0, avente $ \xi $ come radice doppia ( $ f'(\xi)=0 $ . Si dica, giustificando la risposta, quale dei seguente due metodi converge più rapidamente alla soluzione:

a)Il metodo di Newton modificato applicato a f(x)=0
b)Il metodo di Newton "classico" applicato a f'(x)=0

Secondo me converge più velocemente il metodo di Newton modificato applicato a f(x)=0, in quanto avendo molteplicità r=2, il metodo di Newton modificato ripristina l'ordine di convergenza e quindi ho che p=2

[feddy]

Sì, anche perché senno perché lo si sarebbe "modificato"?
Tutto quello che si fa è moltiplicare nell'iterazione di Newton il termine $\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ per la molteplicità dello zero $\xi$.

[Shred]

Sì, anche perché senno perché lo si sarebbe "modificato"?
Tutto quello che si fa è moltiplicare nell'iterazione di Newton il termine $\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ per la molteplicità dello zero $\xi$.

Se invece applicassi il metodo di newton "classico" a f'(x)=0, cosa otterei ?

[feddy]

Nel caso di zeri con molteplicità maggiore di uno il metodo di Newton "classico" è malcondizionato, e inoltre il suo ordine di convergenza diminuisce. Nota che questi sono due concetti distinti. Il fatto che l'ordine di convergenza diminuisca lo puoi vedere studiando la derivata della funzione di iterazione del metodo di newton che è $\phi(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$. Puoi provarlo per esercizio, è facile.

[Shred]

Nel caso di zeri con molteplicità maggiore di uno il metodo di Newton "classico" è malcondizionato, e inoltre il suo ordine di convergenza diminuisce. Nota che questi sono due concetti distinti. Il fatto che l'ordine di convergenza diminuisca lo puoi vedere studiando la derivata della funzione di iterazione del metodo di newton che è $\phi(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$. Puoi provarlo per esercizio, è facile.

nel caso della risposte b) il metodo sarebbe $ x_(k+1)=x_k-(f'(x_k))/(f''(x_k)) $ in quanto viene applicato a f'(x)=0, succede sempre la stessa cosa, cioè malcondizionamento?

[feddy]

Non serve a niente citare tutto il messaggio quando rispondi... prova a dirmi tu cosa succede. Insomma esponi un tuo tentativo

[Shred]

Utilizzando la formula $ x_(k+1)=x_k-(f'(x_k))/(f''(x_k)) $ andrei ad approssimare il punto di minimo/massimo della funzione, non ho informazione sulla convergenza