stiamo studiando l'approssimazione di EDO tramite RK. dunque abbiamo la soluzione approssimata data da $y_(n+1)=y_n+hsum_(i=1)^(s)b_ik_i$ (s numero di tappe) dove $k_i=f(t_0+c_ih,y_0+hsum_(j=1)^(i-1)a_(ij)k_j), i=1,...,s$
ho questa richiesta:
sia dato il PVI $ { ( doty=f (t,y) ),( y(0)=y_0 ):} $ dove la f è vettoriale. Trasformando il problema in autonomo (quindi perdo la dipendenza dal tempo) ed assumendo $c_i=sum_j a_(ij)$ trovare l'ordine di convergenza (e quindi anche le condizioni di ordine) per un RK a 3 tappe.
si tratta sostanzialmente di usare Taylor come se non ci fosse un domani (niente grafi o robe simile) ma il fatto che sia vettoriale mi destabilizza un po' (nel caso scalare invece non ho avuto problemi). so che dovrò valutare la differenza tra l'espansione della soluzione reale con quella della soluzione approssimata, imporre che più cose possibili si annullino e vedere a che potenza di h sono.
parto quindi ad espandere l'approssimata, e quindi anzitutto le $k_i$.
$k_1=f$
$k_2 = f(y_0+ha_(21)k_1)$ (essendo un problema autonomo il primo argomento sparisce) che espansa io direi essere $k_2=f+ha_(21)(partialf)/(partialy_i)k_1$
già qui dovrei continuare con la derivata seconda ma non so come fare
$k_3=f(y_0+ha_(31)k_1+ha_(32)k_2) -> k_3=f+h(a_(31)k_1+a_(32)k_2)(partialf)/(partialy_i)$
e qui stesso problema di prima.
per la soluzione reale invece io direi:
$doty=f$
$ddoty=(partialf)/(partialy_i)f$
$y^((3))=(partial^2f)/(partialy_kpartialy_i)f+(partialf)/(partialy_i)(partialf)/(partialy_k)$
$y^((4))=(partial^3f)/(partialy_jpartialy_kpartialy_i)f+(partial^2f)/(partialy_kpartialy_i)(partialf)/(partialy_j)+(partial^2f)/(partialy_jpartialy_i)(partialf)/(partialy_k)+(partial^2f)/(partialy_jpartialy_k)(partialf)/(partialy_i)$
spero qualcuno abbia la pazienza di guardare questo marasma di conti e di consigliarmi su come correggere e/o continuare. grazie in anticipo a tutti!
