Metodo punto fisso

[lalalala]

Salve, non riesco a risolvere quest'esercizio:
Dimostrare che l’iterazione $ x_(k+1)=x_k+exp ^(1-x_k) -1 $ converge $ AA x_0 in mathbb(R) $ . Determinare l’ordine di convergenza del metodo.
Sono riuscita a dimostrare che il metodo converge per ogni $ x_0> 1-ln 2 $ poiché in questo caso la derivata prima è minore di 1. Il problema è che non riesco a dimostrare se $ x_0<= 1-ln 2 $. L'idea che ho è quela di dimostrare che se $ x_0<= 1-ln 2 $ dopo un numero finito di iterazioni ritorno al caso precedente ma non so proprio come mostrarlo… Qualcuno saprebbe darmi un aiuto?

[feddy]

$g$ ammette $\alpha=1$ come punto fisso. Inoltre, detta $g(x)=x+e^{-1-x} -1$ si ha che $|g'(\alpha)|=0 (< 1)$ e dunque c'è convergenza locale ad $\alpha$. In particolare da qui segue che l'ordine di convergenza è lineare. (La prima derivata che si annulla una volta valutata in $\alpha$ è la "prima")
Disegnati nel piano la bisettrice e poi $g(x)$. E poi fai un cobwebbing nel caso in cui $x_0 \leq 1-ln2$. Vedi subito che viene prodotta una successione monotona decrescente alla radice $x=1$.

Guardando qui dovresti riuscire a trovare molti altri esempi e casistiche.


La strategia del cobwebbing diciamo che è una cosa abbastanza grezza, nel senso che sei riuscito a disegnare esplicitamente il grafico di $g(x)$. Ovviamente quello che richiede l'esercizio è una richiesta globale. Il noto risultato globale dice che se la $g$ è lipschitziana in $[a,b]$ con costante di Lipschitz $L<1$, allora la successione definita da $x_{k+1}=g(x_k)$ converge all'unico punto fisso $\alpha$ (che in questo caso vale $1$) , per qualsiasi scelta del dato iniziale in $[a,b]$. In questo caso l'intervallo è tutto l'asse reale.

Ma non è un duro compito mostrare che $g$ è effettivamente lipschitz in un qualasiasi compatto $[a,b]$:

$|g(x)-g(y)|=|(x-y)+e^(1-x)-e^(1-y)| \leq |x-y| + |e^(1-x)-e^(1-y)|$

Per il teorema del valor medio vale $ |e^(1-x)-e^(1-y)| = e^(1-c)|y-x|$, con $c \in (a,b)$ da cui

$ |x-y| + |e^(1-x)-e^(1-y)| \ leq (1-e^(1-c)) |x-y|=L |x-y|$

con $L <1$ in quanto l'esponenziale è sempre positivo. Pertanto tale funzione è una contrazione.

[lalalala]

Grazie mille! Sei stato utilissimo

[feddy]

Mi fa piacere!

[lalalala]

Guardando meglio.. non ho ben capito l'ultimo passggio: a me la costante viene $ L=1+e^(1-x) $ che è sempre maggiore di 1..

[feddy]

Dovresti avere un meno, per poter raccogliere $|x-y|$

[lalalala]

Per il th del valore medio so che
$ e^(1-x)-e^(1-y)=-e^(1-c)*(x-y) $
Passando ai moduli
$ |e^(1-x)-e^(1-y)|=|-e^(1-c)*(x-y)|=|e^(1-c)|*|x-y|=e^(1-c)*|x-y| $
Quindi quando raccolgo la costante viene $ 1+e^(1-c) $
Giusto?

[feddy]

Già, peccato, nella fretta avevo scambiato i segni di $x$ e $y$ e quindi mi veniva un segno meno. Sarebbe stato elegante mostrarlo così. Allora la prima strategia va comunque bene, che sostanzialmente è quello che dici tu con

dimostrare che se $x_0≤1−ln2$ dopo un numero finito di iterazioni ritorno al caso precedente

[lalalala]

Si ma non riesco a capire come dimostrarlo… cioè farlo come un disegno non mi pare tanto formale

[feddy]

Il metodo grafico, nel caso in cui la funzione di iterazione lo permette, sicuramente può andare. Se vuoi essere più formale, cerca di mostrare che la successione $x_{k+1}=g(x_k)$ prodotta, prendendo $x_0 \leq 1- ln2$ converge a $1$.