$g$ ammette $\alpha=1$ come punto fisso. Inoltre, detta $g(x)=x+e^{-1-x} -1$ si ha che $|g'(\alpha)|=0 (< 1)$ e dunque c'è convergenza locale ad $\alpha$. In particolare da qui segue che l'ordine di convergenza è lineare. (La prima derivata che si annulla una volta valutata in $\alpha$ è la "prima")
Disegnati nel piano la bisettrice e poi $g(x)$. E poi fai un
cobwebbing nel caso in cui $x_0 \leq 1-ln2$. Vedi subito che viene prodotta una successione monotona decrescente alla radice $x=1$.
Guardando
qui dovresti riuscire a trovare molti altri esempi e casistiche.
La strategia del cobwebbing diciamo che è una cosa abbastanza grezza, nel senso che sei riuscito a disegnare esplicitamente il grafico di $g(x)$. Ovviamente quello che richiede l'esercizio è una richiesta
globale. Il noto risultato globale dice che se la $g$ è lipschitziana in $[a,b]$ con costante di Lipschitz $L<1$, allora la successione definita da $x_{k+1}=g(x_k)$ converge all'
unico punto fisso $\alpha$ (che in questo caso vale $1$) , per qualsiasi scelta del dato iniziale in $[a,b]$. In questo caso l'intervallo è tutto l'asse reale.
Ma non è un duro compito mostrare che $g$ è effettivamente lipschitz in un qualasiasi compatto $[a,b]$:
$|g(x)-g(y)|=|(x-y)+e^(1-x)-e^(1-y)| \leq |x-y| + |e^(1-x)-e^(1-y)|$
Per il teorema del valor medio vale $ |e^(1-x)-e^(1-y)| = e^(1-c)|y-x|$, con $c \in (a,b)$ da cui
$ |x-y| + |e^(1-x)-e^(1-y)| \ leq (1-e^(1-c)) |x-y|=L |x-y|$
con $L <1$ in quanto l'esponenziale è sempre positivo. Pertanto tale funzione è una contrazione.