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Supponiamo di avere una funzione $f:[a,b]\to\RR$ di classe $C^{2}$. L'errore dato dall'approssimazione della formula dei trapezi (non compositi) è
\[
\int_{a}^{b} f''(\xi(x))(x-a)(x-b)dx
\]
Sul mio testo (Burden e Faires)viene detto che, poiché $f''$ è continua e $(x-a)(x-b)$ non cambia di segno, per il teorema della media integrale si ha
\[
\int_{a}^{b} f''(\xi(x))(x-a)(x-b)dx=(b-a)f''(\mu(x))\int_{a}^{b}(x-a)(x-b)dx
\]
Non riesco a capire come tutto possa andare fuori. Poiché questa osservazione è cruciale anche nella formula di Simpson e altre, vi chiedo di delucidarmi questo passaggio.
Grazie in anticipo

Sei sicuro che quella formula sia corretta? Come fa ad esserci una \(x\) fuori dall'integrale? Anche leggere \(\xi(x)\) mi lascia un po' perplesso.

Mi correggo: $\mu$ non dovrebbe essere in funzione di $x$. Se ti va puoi leggere tu stesso qui
https://fac.ksu.edu.sa/sites/default/fi ... is_9th.pdf
pagina 194. Te ne sarei immensamente grato!

Comunque penso di aver risolto: ho tradotto 'main value theorem' con teorema della media integrale invece che come teorema di Lagrange. Grazie @Raptorista

Cantor99 ha scritto:Mi correggo: $\mu$ non dovrebbe essere in funzione di $x$. Se ti va puoi leggere tu stesso qui
https://fac.ksu.edu.sa/sites/default/fi ... is_9th.pdf
pagina 194. Te ne sarei immensamente grato!

Dev'essere un errore di stampa, infatti più avanti estrae quella cosa dall'integrale come se fosse costante.

Che errore intendi @Raptorista?
Con cosa non ti trovi?

\(\xi(x)\), dovrebbe essere \(\xi\) e basta, una costante.

Perfetto, mi trovo con te. Grazie mille