ordine di convergenza metodo di Eulero in avanti

[feddy]

Scrivi il numero delle pagine interessate.

[dRic]

A. Quartenoni, "Modellistica numerica per problemi Differenziali" pag 362. Qui di dice che uno schema è "fortemente stabile rispetto alla norma $||\cdot||_{\Delta}$". Da cui deduco che ne vada scelta una di volta in volta conveniente al problema in questione.

Mentre per "Prime on PDEs" Salsa, Vegni, Zaretti, Zunino a pag 470-471 si asserisce che $||\cdot||$ è una norma discreta (quindi lasciandomi intuire che tutte le norme vadano bene).

PS: Tra l'altro già che ci sono mi piacerebbe sapere perché nel primo libro citato, la norma $\Delta$ è definita da $j=-\infty$ a $j = +\infty$... che senso ha estendere la somma a infinito (peraltro negativo) se tanto lavoro in uno spazio discreto ?

Pss: Grazie mille della disponibilità e scusa se ti sto stressando

[feddy]

Il Quarteroni che citi ce l'ho in inglese, ma quella frase non la riporta. Anzi, la norma scritta da te prprio non compare nel mio, perché si parla solo di norma $L^2$. Forse è qui il problema: due norme si dicono equivalenti se definiscono la stessa struttura topologica sull'insieme dove le definisco. Su $RR^n$, come leggevo che avevi scritto da qualche parte, tutte le norme sono equivalenti, ma in dimensione infinita, che è il nostro caso, esistono esempi di norme NON equivalenti: l'esempio classico è $(C(\Omega),RR)$ con le norme su $L^p(\Omega)$. Ad esempio si mostra di solito che per $p=\+infty,1,2$ le norme non sono equivalenti.

Sull'altra domanda non saprei, non ho quel testo

[dRic]

Il Quarteroni che citi ce l'ho in inglese, ma quella frase non la riporta. Anzi, la norma scritta da te prprio non compare nel mio, perché si parla solo di norma L2.

Io ce l'ho sia cartaceo che pdf... Ecco la scan del pdf



(Credo che alla fine la norma $\Delta$ non è altro che la classica norma $L^p$ con la misura del conteggio)

Forse è qui il problema: due norme si dicono equivalenti se definiscono la stessa struttura topologica sull'insieme dove le definisco. Su Rn, come leggevo che avevi scritto da qualche parte, tutte le norme sono equivalenti, ma in dimensione infinita, che è il nostro caso, esistono esempi di norme NON equivalenti

Quindi un metodo può essere stabile o meno a seconda della norma che scelgo ? Mi pare un po' strano...
E, scusa ancora, ma perché siamo in dimensione infinita? La soluzione numerica non è un vettore finito ?

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PS: ho cercato in biblioteca altre edizioni del libro e in altre edizioni si trova a pagine differenti (in una a pag 271 e in un altra a pag 465)

[feddy]

Si, la norma che scrivi tu nel tuo ultimo messaggio corrisponde ad prendere la misura del conteggio, oppure puoi considerare $l^p$ come lo spazio delle sequenze tali per cui $\sum_{k \in \mathbb{Z}} |x_k|^p < +\infty$ e definirci sopra la rispettiva norma. Solo che, se noti, lì hai un coefficiente $h$ (passo) che moltiplica il tutto. Ma non dovrebbe essere un problema.

Comunque è giusto specificare che è stabile rispetto ad una norma data. Voglio dire, specie in ambito numerico, ho interesse a sapere in quale "senso" questo schema è stabile (magari appunto in una situazione sono più interessato alla stabilità nel senso di $L^2$, piuttosto che $L^{+\infty}$, cioè concorderai che è ben diverso sapere se una cosa è limitata in $L^2$ oppure in $L^{\infty}$)
Purtroppo però ora non ho proprio il tempo per pensarci di più

[dRic]

Va bene. Grazie mille della disponibilità, sei stato gentilissimo

[feddy]

Con ritardo, prego!