Buon e mal condizionamento con più indici di condizionamento

[Andrea997]

Salve a tutti
sto studiando per l'esame di analisi numerica e mi sono imbattuto in un dubbio, ho provato a cercare sul vostro forum e su internet, ma nulla da fare. il dubbio riguarda gli indici di condizionamento e la definizione di buon e mal condizionamento.

il prof parte dall'analisi di funzioni \( \Re^n \rightarrow \Re \) con più indici di condizionamento $ K_i (f,x) = (\frac{\partial^{}f}{\partial x_i} (x) \ast x_i) / f(x) $ e afferma che se tutti i $ K_i (f,x) $ hanno ordine di grandezza non superiore all'unità allora la funzione f si dice ben condizionata e grazie a:
\( \delta \doteq \sum^n_1 {K_i*\varepsilon _i} \)
si conclude che se f è ben condizionata allora l'errore relativo sul risultato \( \delta \) ha ordine di grandezza non superiore al massimo ordine di grandezza degli errori relativi \( \varepsilon _i \).
successivamente afferma che la moltiplicazione \( f(x): \Re ^2\rightarrow \Re \) \( f(x)=x_1*x_2 \) dove \( x_1,x_2 \) sono le componenti di x, è ben condizionata essendo \( K_1 \) e \( K_2 \) entrambi uguali a 1. posso trovare una funzione \( f(x): \Re ^n\rightarrow \Re \) \( f(x)=x_1*x_2*x_3*...*x_n \) con tutti gli indici di condizionamento uguali a 1 e quindi è ben condizionata per ogni dato. ma ponendo per esempio n=10 e \( \varepsilon =1*10^{-2} \) trovo che pur essendo ben condizionata l'ordine di grandezza del risultato è maggiore dell'errore relativo sui dati (x). quindi il mio dubbio: da una funzione ben condizionata possono avere un aumento dell'ordine di grandezza dell'errore sui risultati rispetto all'errore sui dati? come mi devo comportare per stabilire il buon condizionamento studiando gli indici di condizionamento ?