Approssimazione Chebishev

[Andre@]

Siano $f$ una funzione continua in $[−1, 1]$ e $ϕ_3(x) = \sum_{k=0}^3 c_kT_k(x)$ il polinomio di
grado 3 che approssima f in [−1, 1] nel senso dei minimi quadrati continui con funzione peso $w(x)=1/\sqrt(1-x^2)$,
dove $T_k$ è il polinomio di Chebyshev di I specie di grado k.
Determinare i coefficienti dello sviluppo in serie $c_k$.
Esprimere successivamente i suddetti coefficienti in funzione dei momenti di ordine r.

Per quanto riguarda il primo quesito basta notare che il generico coefficiente ck è dato da $c_k={\int_{-1}^1w(x)\phi_3(x)T_r(x)dx} /{\int_{-1}^1T_r^2dx} $, tuttavia non capisco come utilizzare tale formula perché se all'interno dell'integrale al numeratore sostitussi l'espressione di $\phi$, comparirebbe il $c_k$ che però è proprio quello che devo calcolare! $c_k={\int_{-1}^1w(x) \sum_{k=0}^3 c_kT_k(x)T_r(x)dx} /{\int_{-1}^1T_r^2dx} $

Per il secondo quesito avrei bisogno di un input perché non mi viene in mente nulla in merito!

Grazie!

[Bokonon]

Può esserti utile?
https://en.wikipedia.org/wiki/Clenshaw_ ... hev_series

[vict85]

Ho studiato questi argomenti molto tempo fa, ma usando le mie conoscenze di algebra lineare e analisi matematica direi che stai usando le formule sbagliate. Stai cercando di "proiettare" \(\displaystyle f \) nel sottospazio vettoriale generato dai vettori ortogonali \(\{ T_0, T_1, T_2, T_3 \}\). Similmente al caso finito dimensionale, hai che la proiezione \(\displaystyle \phi_3 \) è pari a \(\displaystyle \sum_{k=0}^3 \frac{\langle f, T_k\rangle}{ \lVert T_k\rVert^2 } T_k\). Pertanto hai che \(\displaystyle c_k = \frac{\langle f, T_k\rangle}{ \lVert T_k\rVert^2 } \), che nel caso di una funzione peso dovrebbe essere \(\displaystyle \frac{\int_{-1}^1w(x)f(x)T_k(x)\,dx}{\int_{-1}^1w(x)T^2_r(x)\,dx} \).

Detto questo, \(\displaystyle \int_{-1}^1w(x)\bigl(\sum_{k=0}^3 c_kT_k\bigr)T_r(x)\,dx = \sum_{k=0}^3 c_k \int_{-1}^1w(x)T_kT_r(x)\,dx = c_k \int_{-1}^1w(x)T_rT_r(x)\,dx\) per via del fatto che i vari polinomi sono ortogonali tra di loro. Quindi stavi solo ponendo \(c_k\) uguale a se stesso.