Errore di troncamento equazione del calore

[dRic]

Ciao, data l'equazione del calore $\frac {\partial u}{\partial t} - \mu \frac {\partial^2 u}{\partial^2 x} = 0$ dovrei definire l'errore di troncamento locale per il metodo di eulero all'indietro e studiarne il comportamento per $h, \Delta t -> (0, 0)$ dove h è il parametro di discretizzazione spaziale e dt quello temporale.

Il metodo di eulero all'indietro è inteso sul tempo, perché per la discretizzazione in spazio devo usare un metodo centrato per la derivata seconda. Così ottengo:

$$\frac {u_j^n - u_j^{n-1}}{\Delta t} - \frac {\mu} {h^2} (u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n) = 0$$

e quindi

$$ u_j^n - \frac {\mu \Delta t} {h^2} (u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n) = u_j^{n-1}$$

che scritto in forma matriciale viene:

$$ (I - \Delta t A) u^{n} = u^{n-1} $$

dove $A = \frac {\mu \Delta t} {h^2} Tridiag(-1, 2, -1)$; e $I$ è la matrice identità. Quindi il sistema lineare si può scrivere come:

$u^{n} = (I - \Delta t A) ^{-1} u^{n} $

Se chiamo $y$ la soluzione esatta l'errore di troncamento sarebbe

$$\tau^{n+1} = \frac 1 {\Delta t} [y(t_{n+1}) - (I - \Delta t A) ^{-1} y(t_n)]$$

Però da qui non so come andare avanti...