Sto studiando per l'esame di calcolo numerico all'università e sono arrivato al concetto di ordine di convergenza dei metodi iterativi one step. C'è una definizione che riporto qui di seguito:
Siano \(\displaystyle \Phi \in C^p([a, b]) \) e \(\displaystyle \alpha \in (a, b) \) punto fisso di \(\displaystyle \Phi \). Sono equivalenti le seguenti proposizioni:
(a) il metodo one step definito dalla funzione iteratrice \(\displaystyle \Phi \) converge ad \(\displaystyle \alpha \) con ordine \(\displaystyle p \).
(b) \(\displaystyle \Phi'(\alpha) = \Phi''(\alpha) = ... = \Phi^{(p-1)}(\alpha) = 0 \) e \(\displaystyle \Phi^{(p)}(\alpha) \neq 0 \).
Il professore ha dimostrato (b) => (a) e ha lasciato la dimostrazione di (a) => (b) per esercizio, dicendo che il ragionamento è analogo a quello fatto da lui per l'altra implicazione, ma non riesco a farla completamente. Riporto la prima dimostrazione nel caso possa essere utile (questa parte l'ho capita, quindi non vi sto chiedendo di spiegarmela, ci mancherebbe):
(b) => (a)
Consideriamo lo sviluppo di Taylor della funzione iteratrice \(\displaystyle \Phi \) in un intorno di \(\displaystyle \alpha \):
\(\displaystyle \Phi(x) = \Phi(\alpha) + \Phi'(\alpha)(x - \alpha) + \frac{\Phi''(\alpha)}{2}(x - \alpha)^2 + ... + \frac{\Phi^{(p-1)}(\alpha)}{(p-1)!}(x - \alpha)^{(p-1)} + \frac{\Phi^{(p)}(\eta_x)}{p!}(x - \alpha)^p \)(resto di Lagrange), dove \(\displaystyle \eta_x \) è un opportuno punto tra \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle x \).
Dall'ipotesi (b) segue:
\(\displaystyle \Phi(x) = \Phi(\alpha) + \frac{\Phi^{(p)}(\eta_x)}{p!}(x - \alpha)^p \)
Ponendo \(\displaystyle x = x_n \) si ricava:
\(\displaystyle x_{n+1} - \alpha = \frac{\Phi^{(p)}(\eta_n)}{p!}(x_n - \alpha)^p \), dove \(\displaystyle \eta_n \) è un opportuno punto tra \(\displaystyle x_n \) e \(\displaystyle \alpha \).
Si osservi che, poiché \(\displaystyle x_n \to \alpha \), per il teorema della convergenza obbligata, \(\displaystyle \eta_n \to \alpha \). Dividendo ambo i membri per \(\displaystyle (x_n - \alpha)^p \) e passando ai valori assoluti:
\(\displaystyle \frac{|x_{n+1} - \alpha|}{|x_n - \alpha|^p} = \frac{1}{p!}|\Phi^{(p)}(\eta_n)| \).
Passando al limite per \(\displaystyle n \to \infty \):
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{|x_{n+1} - \alpha|}{|x_n - \alpha|^p} = \frac{1}{p!}\lim_{n \to \infty}|\Phi^{(p)}(\eta_n)| = \frac{1}{p!}|\Phi^{(p)}(\lim_{n \to \infty}\eta_n)| = \frac{1}{p!}|\Phi^{(p)}(\alpha)| \)
Ora, se il suggerimento è quello di ragionare in modo analogo a come ha fatto lui, io avevo pensato di sviluppare \(\displaystyle \Phi \) con Taylor; per la proprietà (a), il metodo iterativo prodotto dalla funzione iteratrice genera successioni \(\displaystyle {x_n} \) che tendono ad \(\displaystyle \alpha \) con ordine \(\displaystyle p \), il che significa che esiste finito il limite:
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{|x_{n+1} - \alpha|}{|x_n - \alpha|^p} = c \), con \(\displaystyle 0 < c < +\infty \).
Da questo punto in poi mi sono confuso e non riesco ad andare avanti
Qualcuno sarebbe cosi gentile da darmi almeno un suggerimento? Vi ringrazio in anticipo e scusate per il post molto lungo!
