Risoluzione dell'equazione delle onde con semidiscretizzazione spaziale.

[astrolabio95]

Salve a tutti,

Vista l'estrema competenza degli utenti di questo forum, volevo porvi questo altro quesito.

Devo risolvere in maniera numerica la "classica" equazione delle onde

$ (d^2\varphi)/dt^2 = a^2(d^2\varphi)/dx^2 $

Un piccolo appunto (tutto quello che ho di questo argomento...) suggerisce la seguente sostituzione

$ { ( u=\varphi ),( v = (d\varphi)/dt):} $

e dunque

$ { ( (du)/dt=v ),( (dv)/dt = a^2(d^2u)/dx^2):} $

con le seguenti I.C.

$ { ( u(x,0) = u_o(x) = \varphi_o(x) ),( v(x,0) = v_o(x) =(d\varphi_o)/dt):} $

e le seguenti B.C.

$ { ( \varphi(0,t) = \varphi(L,t) = 0 ),((d\varphi)/dt(0,t) = (d\varphi)/dt(L,t) = 0 ):} $

che diventano (e qui nasce il primo dubbio; perche $x_b$ ?)

$ { ( u(x_b,t) = 0 ),( v(x_b,t) = 0):} $


A questo punto si ha un vettore $\omega = [u,v]^T$ tale che

$ ( dul(\omega))/dt = ul(A)*ul(\omega) $

dove A dovrebbe essere una matrice a blocchi fatta così

$ [ ( 0 , I ),( a^2d^2/dx^2 , 0 ) ] $.

Nella pratica, ho capito che si discretizza la derivata spaziale con, ad esempio, un metodo alle differenze finite del secondo ordine centrato e lo si "mette" nel bocco corrispondente della matrice A.
Dopodiché si utilizza il pacchetto ODE di MatLab e si risolve, appunto, la ODE così ricavata passandogli A come variabile globale.
La mia difficoltà sta nell'implementare le B.C. e le I.C. nella matrice A.
Vi è solo un codice svolto senza commento di cui mi sono sforzato di capire qualcosa ma non ho appurato granché.

Se poteste darmi una mano, un suggerimento sarebbe davvero grandioso. Grazie!

[astrolabio95]

Ho provato a svolgerla, ma il vettore delle y che fuoriesce dal [t,y] = ode45(...) è un vettore che ha 2*N colonne, con N pari al numero di punti del mesh, mentre la I.C. è, appunto, definita solo su N punti...

[Raptorista]

Se hai \(n\) punti e \(2\) variabili, ti ritroverai con \(2n\) numeri.

Sinceramente, questa equazione mi sembra che si possa risolvere direttamente con differenze finite in spazio e tempo [metodo noto come LeapFrog].
Quella matrice con dentro un operatore differenziale è una roba astratta, devi prima convertirla in qualcosa di concreto. Nel caso specifico, devi discretizzare l'equazione in qualche modo e poi scrivere l'equazione discretizzata per ogni punto. Per i nodi di bordo scriverai un'equazione diversa che tiene conto delle condizioni al bordo. Quando hai raccolto tutte queste equazioni, le usi per assemblare una matrice [che non è nemmeno necessario in realtà].

[astrolabio95]

Se hai \(n\) punti e \(2\) variabili, ti ritroverai con \(2n\) numeri.

Sinceramente, questa equazione mi sembra che si possa risolvere direttamente con differenze finite in spazio e tempo [metodo noto come LeapFrog].
Quella matrice con dentro un operatore differenziale è una roba astratta, devi prima convertirla in qualcosa di concreto. Nel caso specifico, devi discretizzare l'equazione in qualche modo e poi scrivere l'equazione discretizzata per ogni punto. Per i nodi di bordo scriverai un'equazione diversa che tiene conto delle condizioni al bordo. Quando hai raccolto tutte queste equazioni, le usi per assemblare una matrice [che non è nemmeno necessario in realtà].

Ti ringrazio per la dritta, sono riuscito ad implementare il codice e a far partire tutto!

[Raptorista]

Bene!