Sia $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ in $C^3$ e $(a=x_0<x_1<...<x_n=b)$ una partizione di $[a,b]$ con $h=x_{i+1}-x_i$, devo mostrare che $f'(x_0) = (-3f(x_0)+4f(x_1)-f(x_2))/(2h) -h^2f^{(3)}(\xi)/3$ con $\xi \in (x_0, x_2)$ opportuno.
Usando Taylor ottengo che $(-3f(x_0)+4f(x_1)-f(x_2))/(2h) = f'(x_0) +h^2(f^{(3)}(\xi_1)-2f^{(3)}(\xi_2))/3$ per opportuni $\xi_1 \in (x_0,x_1)$ e $\xi_2 \in (x_1, x_2)$; da qui segue il risultato cercato secondo la soluzione del testo.
Come faccio a sapere che esiste $\xi \in (x_0, x_2)$ tale che $f^{(3)}(\xi_1)-2f^{(3)}(\xi_2) = -f^{(3)}(\xi)$?