Modificare una curva asintotica

[sturmtruppen]

Ciao,
scusate se forse posto il mio primo messaggio nel posto sbagliato...
Vorrei chiedere se qualcuno può aiutarmi a capire come "addomesticare" la curva asintotica dell'immagine perché si avvicini maggiormente ad una curva asintotica ideale come l'altra immagine inclusa.
Grazie infinite e ciao.
Gianni

[feddy]

Prova a chiarire un po' meglio cosa intendi per "addomesticare". Credo comunque che si tratti di un problema di interpolazione.

[sturmtruppen]

Ciao, grazie per la tua risposta...
per "addomesticare" intendo, se è possibile, di modificare i valori della mia curva (quella spigolosa) cercando di aumentare o diminuire ogni suo valore per ottenere una curva più simile possibile a quella ideale.
Alla fine dovrò scrivere una routine in C++ per ottenere questo risultato, ma non so come farla.
Ciao e grazie ancora,
Gianni

[Raptorista]

Sono dati sperimentali? In tal caso, modificarli potrebbe non essere una buona idea.
Vuoi verificare che i tuoi dati sono compatibili con il modello della seconda immagine? Prova a rappresentare l'errore di misura.

Devi sicuramente dire di più su quello che hai fatto e quello che vuoi mostrare.

[sturmtruppen]

Ciao,
no, non sono assolutamente dati sperimentali!
Ho visto il grafico con i valori dei punti e mi sto scervellando su come si può fare per farlo diventare più simile alla curva ideale, forse perché faccio confusione fra la parte analitica e quella visuale, non capisco come si possa fare a sovrapporre le due curve, a come comparare i valori della prima curva con quali della curva ideale ecc... ossia ad ogni punto della prima curva, corrisponde quale punto di quella ideale?
Ciao e grazie ancora per il vs. aiuto.
Gianni

[Raptorista]

È difficile darti una risposta ragionevole perché diverse risposte possono essere corrette in diversi contesti.

no, non sono assolutamente dati sperimentali!

Quindi che dati sono? Da dove arrivano quei numeri?

Ho visto il grafico con i valori dei punti e mi sto scervellando su come si può fare per farlo diventare più simile alla curva ideale,

La risposta naïve è di muovere i punti su e giù finché non toccano la curva nera. Il problema è che facendo così distruggi i valori della tua curva, e probabilmente distruggi il loro significato.

forse perché faccio confusione fra la parte analitica e quella visuale,

Può essere. Non mi è ancora chiaro quale sia il tuo obiettivo.

non capisco come si possa fare a sovrapporre le due curve, a come comparare i valori della prima curva con quali della curva ideale ecc...

Un modo semplice di "comparare" la tua funzione \(f(x)\) con i tuoi dati \(\{x_i, y_i\}\) è quello di calcolare l'errore puntuale: questo si fa prendendo tutte le ascisse \(x_i\) e facendo la differenza [in modulo] tra il valore della tua funzione in quel punto e il valore dei tuoi dati in quel punto, in pratica sommando la distanza dalla funzione in tutti i punti. In formule, questo è
\[
err = \sum_{i=1}^n |f(x_i) - y_i|.
\]

ossia ad ogni punto della prima curva, corrisponde quale punto di quella ideale?

La cosa più semplice sembra essere che al punto \((x_i, y_i)\) corrisponda il punto \((x_i, f(x_i))\), cioè ad un punto dei dati corrisponde il punto della funzione che si trova sopra o sotto, direttamente in verticale.

Provo a interpretare quello che dici: non è che la tua funzione \(f(x)\) è una generica curva con un parametro, per esempio \(f(x) = \alpha e^{-x}\) e tu vuoi trovare il valore di \(\alpha\) che fa avvicinare il più possibile la funzione ai dati?

[gugo82]

Come dice Raptorista, dipende da cosa vuoi fare… Interpolazione o approssimazione?

Quello che si può pensare di fare è trovare la curva della tua famiglia che meglio approssima la tua serie di dati.

Diciamo che hai una famiglia di curve di equazione $y=f(x;a)$, in cui $f(x;a)$ è una famiglia di funzioni della variabile $x$ indicizzata sul parametro $a$, e supponiamo che la dipendenza da $a$ sia sufficientemente buona da poter farci i conti.
La scelta della curva $y = f(x;a)$ che meglio approssima i dati $(x_1,y_1), …, (x_K,y_K)$ si può fare secondo vari criteri; uno molto usato è quello di determinare $a$ in modo che la somma dei quadrati degli errori commessi approssimando il dato $(x_k,y_k)$ col punto della curva $(x_k, f(x_k;a))$ sia minima. Per fare ciò, bisogna minimizzare la funzione $phi(a) := sum_(k=1)^K (f(x_k;a) - y_k)^2$ e questo obiettivo si raggiunge (usualmente) applicando noti risultati di Calcolo Differenziale.

Nulla vieta che le funzioni della famiglia tra cui scegliere la curva grafico che meglio approssima i dati dipendano da più di un parametro, e.g. $y = f(x;a,b)$; in tal caso, il problema di minimo è un problema nelle due variabili $a$ e $b$, anziché in una sola.