Ho scritto una risposta di getto ma mi sono accorto che non è così semplice come sembra a prima vista, quindi l'ho cancellata
Questo il ragionamento che ho fatto:
il problema
\[
\begin{cases}
-u'' = f \\
u'(0) = a \\
u'(1) = b \\
\end{cases}
\]
ha infinite soluzioni, che differiscono di una costante.
Il problema, ad esempio,
\[
\begin{cases}
-u'' = f \\
u'(0) = a \\
u'(1) = b \\
u(0.5) = c \\
\end{cases}
\]
ha una soluzione unica, sia \(u_c\).
La stessa funzione \(u_c\) è soluzione del problema
\[
\begin{cases}
-u'' = f \\
u'(0) = a \\
u'(1) = b \\
u(\hat x) = u_c(\hat x) \\
\end{cases}
\]
per qualunque \(\hat x\), ma se prendo \(\hat x = 1\) ottengo il problema
\[
\begin{cases}
-u'' = f \\
u'(0) = a \\
u'(1) = b \\
u(1) = u_c(1) \\
\end{cases}
\]
e here be dragons, perché direi che questo problema ha la stessa soluzione \(u_c\), però sappiamo anche che il problema misto
\[
\begin{cases}
-u'' = f \\
u'(0) = a \\
u(1) = u_c(1) \\
\end{cases}
\]
ha una soluzione unica tutta sua, e a priori non vedo garanzia che soddisfi la condizione che ho appena tolto sulla derivata al bordo destro. C'è qualcosa che sfugge al ragionamento.
Un errore che vedo è che non abbiamo controllato la condizione di compatibilità per il problema di Neumann. Se guardi bene, il grafico che hai messo nel secondo post ha derivata in \(x = 0\) pari a \(-1\), non \(1\) come scritto all'inizio.
Quindi non è vero che il problema
\[
\begin{cases}
-u'' = f \\
u'(0) = a \\
u'(1) = b \\
\end{cases}
\]
ha infinite soluzioni per ogni \(a\) e \(b\), ma solo per valori che soddisfano la condizione
\[
\int_{\partial\Omega} \partial_n u = \int_\Omega f.
\]
Bisogna fare più attenzione a questo dettaglio.