Dimostrazione per induzione sulle differenze divise

[burton-kun]

Salve a tutti.
Sto studiando la parte che riguarda l'approssimazione di dati e funzioni dal libro "Fondamenti di Calcolo Numerico" di Monegato Giovanni, in particolare, i polinomi di interpolazione e le differenze divise. C'è una dimostrazione su queste ultime che proprio non riesco a ricavare.

Dati n+1 punti distinti \(x_{0}, . . ., x_n \), non è difficile provare per induzione la seguente proprietà:

\(f[x_0, . . ., x_n] = \sum_{k = 0}^{n}\frac{f(x_k)}{\prod_{i=0 \atop i \neq k}^{n} (x_k - x_i)} \)

Il passo base è immediato, nel passo induttivo faccio questi semplici passaggi:

\( f[x_0, . . ., x_n] = \frac{f[x_1, . . ., x_n] - f[x_0, . . ., x_{n-1}]}{x_n - x_0} \)

Sulle due differenze divise che compaiono al nominatore, valgono le ipotesi di induzione e dunque riscrivo:

\( f[x_0, . . ., x_n] = \frac{\sum_{k = 1}^{n}\frac{f(x_k)}{\prod_{i=1 \atop i \neq k}^{n} (x_k - x_i)} - \sum_{k = 0}^{n-1}\frac{f(x_k)}{\prod_{i=0 \atop i \neq k}^{n-1} (x_k - x_i)}}{x_n - x_0} \)

Sulla prima differenza divisa avrei potuto osservare che, posto:
\( y_i := x_{i+1}\) per \( i = 0, . . ., n-1 \) \( \implies f[x_1, . . ., x_n] = f[y_0, . . ., y_{n - 1}] \)
Per mettere in evidenza il fatto che ci trovassimo nelle ipotesi di induzione.

Purtroppo da questo punto in poi non riesco a procedere. Per quanto molti testi dicano che non è difficile dimostrare l'uguaglianza, non so come andare avanti, né tanto meno sono riuscito a trovarla. Spero possiate aiutarmi.

[Esorcismo]

Hai provato a fare i conti per n=2 e/o n=3? Fare così dovrebbe darti l' idea che ti manca per sbloccarti.

[burton-kun]

Si, ma ci ho riprovato comunque questa mattina, a mente fresca, e in effetti ho capito cosa succede e a cosa è dovuta l'uguaglianza, quindi forse il problema sta nella formalizzazione, ancora non riesco ad esprimere i passaggi in modo generico e giungere alla conclusione.

[Esorcismo]

Prova a ripetere i passaggi che fai nel caso con n=2 o n=3.
Dovresti fare questi passaggi
1) trattare a parte i termini $f(x_0)$ e $f(x_n)$
2) osservare che le rimanenti due somme girano sugli stessi indici ( i=1:n-1) e quindi unirle
3) fare i conti su questa unica somma che va da 1 a n-1
3 bis) riscrivere il risultato con un unica somma da 0 a n perchè così hai il risultato gnocco che cerchi.

Mi scuso per averci messo un po' a rispondere, in ogni caso non vorrei scriverti la soluzione buttata lì ma darti qualche consiglio. Se ancora non ne vieni fuori allora mi cimento nella scrittura.

[burton-kun]

Mi sei stato di grande aiuto.

1) trattare a parte i termini $f(x_0)$ e $f(x_n)$

Questo passaggio mi mancava, inconsciamente l'avevo anche fatto nei casi 2, 3 e 4, ma non mi ero reso conto mi avrebbe portato dove volevo nella dimostrazione. Alla fine ho unito le sommatorie, fatto qualche osservazione sui prodotti e sono arrivato alla tesi.
Grazie mille per la disponibilità

[Esorcismo]

Grande ragazzo! ( Kun è per i ragazzi vero? ^^'').
Sono contento che sia riuscito, e sono contento di essere stato utile