Raggio spettrale

[Lelouko]

Buonasera, vi scrivo per questo problema di calcolo numerico con il quale ho avuto qualche problema.
$A=((1,\alpha,0),(-1/3,1/3,0),(1/6,1/6,\alpha))$
Trovare il valore del parametro $\alpha$ affinchè il raggio spettrale sia minore di 1.
$\rho(A)=max|\lambdai|<1$
dove $\lambdai$ sono gli autovalori della matrice A.


Allora dalla definizione di raggio spettrale devo trovare gli autovalori di questa matrice, quindi innanzitutto scrivo:
$A$-$\lambda$=$((1-\lambda,\alpha,0),(-1/3,1/3-\lambda,0),(1/6,1/6,\alpha-\lambda))$
Calcolo il determinante di questa matrice per trovare questa equazione
$(1-\lambda)[(1/3-\lambda)(\alpha-\lambda)]-\alpha(-\alpha/3+\lambda/3)$
Riscrivo meglio e uguaglio a zero
$-\lambda^3+\lambda^2(1+\alpha)+\lambda(-1/3-\alpha-2\alpha/3)+\alpha/3+\alpha^2/3=0$
Ora come vedete non è una equazione facile da risolvere e infatti qui mi sono sorti alcuni dubbi.
Innanzitutto ho provato a pensare che siccome il raggio spettrale deve essere minore di 1, potrei provare a considerare la condizione limite, ovvero $\rho(A)=1$, cioè impongo che gli autovalori della matrice A siano uguale a 1.
$A-1=$$((1-1,\alpha,0),(-1/3,1/3-1,0),(1/6,1/6,\alpha-1))$
E facendo il determinante e risolvendo $-\1^3+1^2(1+\alpha)+1(-1/3-\alpha-2\alpha/3)+\alpha/3+\alpha^2/3=0$
Trovo $\alpha=0,1$
Però dopo averli trovati non sono sicura di quali valori di $\alpha$ dovrei considerare, cioè se devo considerare $\alpha>,=,<0$ o $\alpha>,=,<1$, per essere sicura di avere $\rho(A)<1$.
Inoltre è giusto affermare che se una generica matrice non è simmetrica, allora non è neanche positiva e ci conseguenza non ha autovalori reali?
Vi ringrazio per la vostra pazienza e attenzione.

[Esorcismo]

Scrivo dal cellulare quindi sarò molto breve, lo scopo di questo post sarà più un aiuto verso la risoluzione dell' esercizio.

Per il calcolo del polinomio caratteristico sviluppa il determinante lungo l ultima colonna. Dovresti immediatamente notare qualcosa.

Per quanto riguarda il tentativo di risoluzione c è un errore di fondo. Hai semplicemente imposto che 1 sia autovalore della matrice, ma questo non basta. Il Raggio spettrale è il MASSIMO degli autovalori in MODULO.

La risposta all ultima domanda è ancora no. Se una matrice è simmetrica ha solo autovalori reali, ma nulla puoi dire sul viceversa. Una matrice non simmetrica potrebbe avere autovalori reali come non averli.

[Lelouko]

Ah perfetto, non ero sicura.

ok, ho provato a fare il calcolo dall'ultima colonna, se non ho sbagliato, dovrebbe essere questo
$(\alpha-\lambda)[(1-\lambda)(1/3-\lambda)+\alpha/3]$
$(\alpha-\lambda)[\lambda^2-2/3\lambda+1/3(\alpha+1)]$
trovo quindi 3 valori per $\lambda: \alpha,1/3+sqrt(1/9-(\alpha+1)), 1/3-sqrt(1/9-(\alpha+1))$
Ora vado a vedere qual è il massimo tra questi 3 valori:
Di sicuro posso subito vedere che $1/3+sqrt(1/9-(\alpha+1))>1/3-sqrt(1/9-(\alpha+1))$
E qui mi viene un altro dubbio, come faccio a capire qual è il massimo tra i due termini? Provo con una disequazione del genere? $\alpha>1/3+sqrt(1/9-(\alpha+1))$

[Esorcismo]

C'è un errore di conti il polinomio caratteristico è
\[3(\alpha -\lambda)(\lambda^2-4\lambda+(\alpha+1)\]
e di conseguenza
gli autovalori sono
\begin{equation}
\begin{cases}
\lambda=\alpha \\
\lambda_{+}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3} \sqrt{4-3(\alpha+1)} \\
\lambda_{-}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3} \sqrt{4-3(\alpha+1)}
\end{cases}
\end{equation}

Una cosa che puoi osservare è che, in ogni caso, vale
\[
\rho(\alpha)\ge |\alpha|
\]
sicuramente allora condizione NECESSARIA ( e ad ora non sufficiente ) affinché $\rho(\alpha) < 1$ è che $|\alpha | <1 $. Puoi restringere il tuo studio a questo caso.

Limitandoci a $\alpha \in (-1,1)$, a questo punto devi distinguere due casi quelli per cui i due restanti autovalori siano entrambi reali o entrambi complessi e coniugati e studiare separatamente i due casi

Ad esempio (se non ho fatto male i conti) per $\alpha \in (-1,1/3)$ gli autovalori sono entrambi reali.
A questo punto anzicchè chiedermi quando uno dei due supera in modulo $\alpha$ mi sono chiesto piuttosto se uno dei due in modulo superasse 1.

Ad esempio puoi osservare che
\[
\lambda_{-}(\alpha) \in (\frac{1}{3},\frac{2}{3})
\]
quindi questo non supera mai uno e problemi non te ne da, ma l'altro?

Quando avrai finito di ragionare con i reali poi dovrai ragionare con i complessi, ma basta ragionare con il modulo.

Fammi sapere come va.
(In tutto ciò spero di non aver sbagliato conti XD)

[Lelouko]

mm non mi sono molto chiari i calcoli che hai fatto
\[ 3(\alpha -\lambda)(\lambda^2-4\lambda+(\alpha+1) \]
Ho ricontrollato i calcoli e infatti avevo sbagliato ma mi viene
$(\alpha-\lambda)(\lambda^2-4/3\lambda+1/3(\alpha+1))$

Di nuovo qua "Ad esempio (se non ho fatto male i conti) per $\alphain(−1,1/3)$ gli autovalori sono entrambi reali." Non capisco il calcolo che hai fatto.
Per il resto ho capito il ragionamento che hai fatto, ora mi è molto più chiaro

[Esorcismo]

Si scusa, quando ho riportato i conti al pc ho fatto un casino XD
Il polinomio caratteristico è quello che dici tu
\[
p_{\alpha}(\lambda)=\frac{1}{3}(\alpha - \lambda) (3\lambda^2 -4\lambda+(\alpha+1))
\]
( ho messo 1/3 in evidenza )

Ora ponendo questo uguale a 0 trovo gli autovalori e sono quelli che ti ho scritto sul post precedente.
Rifaccio i conti per spiegare la seconda cosa che mi hai chiesto.

\begin{equation}
p_{\alpha}(\lambda)=0 \iff
\begin{cases}
\lambda=\alpha \\
\lambda_{\pm}=\frac{+4\pm\sqrt{16-12(\alpha+1)}}{6}=\frac{2}{3}\pm\frac{1}{3}\sqrt{4-3(\alpha+1)}
\end{cases}
\end{equation}

Bene a questo punto chiama
\[
\Delta=4-3(\alpha+1)
\]

Se questo è minore di zero allora sotto radice hai una quantità negativa e questo è un numero complesso ( o forse sarebbe meglio dire immaginario).

In particolare se $\Delta\ge0$ allora gli autovalori sono reali e quando è che questo accadade?
\[
\Delta\ge0 \iff 4 \ge 3(\alpha +1) \iff 1/3 \ge \alpha
\]

Ricordando che poi ci siamo già ristretti al caso $\alpha \in (-1,1)$ arrivi a scrivere che se $\alpha \in (-1,1/3]$ gli autovalori sono reali ( e di nostro interesse aggiungerei).

Fammi sapere come prosegue la risoluzione dell'esercizio!

[Lelouko]

Ahh perfetto grazie mille ahah
Allora a questo punto per trovo che $\lambda+(\alpha)in(2/3,4/3)$ e $\lambda-(\alpha)in(0,2/3)$
L'unico che dà problemi in questo caso è $\lambda+$, allora provo ad imporlo qua che sia uguale a 1?
Provando a imporlo trovo che $\alpha=0$, quindi il valore trovo che $\alpha in (0,1/3]$, escludendo lo zero, perchè alla fine che il raggio spettrale sia <1.

[Esorcismo]

Premessa, mi trovo con te. Ma come mai dopo aver imposto $\alpha=1$, hai scelto l intervallo $(0,\frac{1}{3}] $ e non il complementare?
(Questa vuole essere solo una provocazione per dire che imporre l autovalore uguale a 1 non basta, e nonostante la risposta sia giusta la dovresti argomentare un po di piú)


In ogni caso non ti resta che analizzare il caso $\alpha > \frac{1}{3} $ e avrai finito!
Ps scrivo dal cellulare, ignora apostrofi mancanti pls XD

[Lelouko]

Allora faccio uno studio dei segni, innanzitutto imponendo $\lambda+<1$, trovo dai calcoli che ho già fatto che $\alpha<0$, inoltre so che $\alphain(-1,1/3]$, dai segni posso vedere che $\alpha$ deve essere per forza in $(0,1/3]$
e il caso $\alpha>1/3$ non lo studio, perchè è da una vita che non faccio più calcoli con i numeri complessi, cioè non mi ricordo più come si fanno ahah