ordine di convergenza del metodo di newton

[canemacchina]

Mi interessavano un po' di dimostrazioni sull'ordine di convergenza, per dire... Ci provo da solo ora!

[*martiki*]

Ciao a tutti,

scusate l'intromissione, ma a questo proposito avrei un ulteriore quesito sulla convergenza del metodo di Newton.
La nostra prof ci ha detto che può essere considerato come un metodo di punto fisso, quindi vale anche per Newton la condizione che dice che se esiste una funzione g tale che g(x*)=x* e |g'(x*)|<1 allora il metodo converge linearmente e se |g'(x*)|=0 ha invece convergenza quadratica?
Inoltre, come si può determinare la cosiddetta regione di convergenza?
Inoltre
|g'(x*)|<1 deve essere strettamente minore di 1 o può essere anche uguale? Nel caso sia "strettamente", se quel modulo è =1 cosa implica?

[feddy]

La nostra prof ci ha detto che può essere considerato come un metodo di punto fisso, quindi vale anche per Newton la condizione che dice che se esiste una funzione g tale che g(x*)=x* e |g(x*)|<1 allora il metodo converge linearmente e se |g(x*)|=0 ha invece convergenza quadratica?

Certo, il metodo di Newton utilizza l'iterazione di puntofisso $x_(k+1)=x_k - f(x_k)/(f'(x_k))$. Quindi la funzione di iterazione di punto fisso in questo caso è $g(x)=x - f(x)/(f'(x))$.
Se provi a fare $g'(x*)$, vedi subito che risulta $0$. Quindi sicuramente tale condizione è soddisfatta.

Questo credo che però non ci dica nulla sull'ordine di convergenza ( se quadratico o lineare). Per dimostrare che l'ordine di convergenza è quadratico si considera il limite $ lim_(k -> infty) |e_(k+1)/(e_k)^p| $¹ , e si dimostra che per $p=2$, nel caso di zeri non multipli, la convergenza è quadratica.

|g(x*)|<1 deve essere strettamente minore di 1 o può essere anche uguale? Nel caso sia "strettamente", se quel modulo è =1 cosa implica?

Deve essere strettamente minore. Se fosse uguale a $1$, la convergenza non è assicurata. Potrebbe convergere come no.

---

Note

1. $e_k $ indica l'errore al passo k-esimo ↑

[seb]

quindi vale anche per Newton la condizione che dice che se esiste una funzione g tale che g(x*)=x* e |g(x*)|<1 allora il metodo converge linearmente e se |g(x*)|=0 ha invece convergenza quadratica?

A parte che manca qualche segno di derivazione, non è nemmeno esattamente così: dato un punto unito \(\xi\) e la funzione d'iterazione \(g\) (i.e. \(\xi=g(\xi)\)), se \(g'(\xi)=0\), lo schema iterativo ha convergenza almeno quadratica.

come si può determinare la cosiddetta regione di convergenza?

Sia \(I=[a,b]\) un intervallo tale che \(C^1(I)\ni g\) sia una contrazione, allora il punto fisso \(\xi\) è un attrattore se \(|g'(x)|<1,\>\forall x\in I\). Localmente ti è sufficiente la condizione \(|g'(\xi)|<1\) e scegliere il punto iniziale \(x_0\) in un opportuno intorno di \(\xi\) ove, cioè, la funzione \(|g'|\) mantenga il proprio segno.
Soddisfatte queste condizioni è assicurata la convergenza, ma non significa che si abbia ordine di convergenza lineare (come dici nella prima parte).

[*martiki*]

Grazie per la spiegazione ora ho corretto anche i segni di derivata che mi erano sfuggiti!