*martiki* ha scritto:La nostra prof ci ha detto che può essere considerato come un metodo di punto fisso, quindi vale anche per Newton la condizione che dice che se esiste una funzione g tale che g(x*)=x* e |g(x*)|<1 allora il metodo converge linearmente e se |g(x*)|=0 ha invece convergenza quadratica?
*martiki* ha scritto:|g(x*)|<1 deve essere strettamente minore di 1 o può essere anche uguale? Nel caso sia "strettamente", se quel modulo è =1 cosa implica?
A parte che manca qualche segno di derivazione, non è nemmeno esattamente così: dato un punto unito \(\xi\) e la funzione d'iterazione \(g\) (i.e. \(\xi=g(\xi)\)), se \(g'(\xi)=0\), lo schema iterativo ha convergenza almeno quadratica.*martiki* ha scritto:quindi vale anche per Newton la condizione che dice che se esiste una funzione g tale che g(x*)=x* e |g(x*)|<1 allora il metodo converge linearmente e se |g(x*)|=0 ha invece convergenza quadratica?
Sia \(I=[a,b]\) un intervallo tale che \(C^1(I)\ni g\) sia una contrazione, allora il punto fisso \(\xi\) è un attrattore se \(|g'(x)|<1,\>\forall x\in I\). Localmente ti è sufficiente la condizione \(|g'(\xi)|<1\) e scegliere il punto iniziale \(x_0\) in un opportuno intorno di \(\xi\) ove, cioè, la funzione \(|g'|\) mantenga il proprio segno.*martiki* ha scritto:come si può determinare la cosiddetta regione di convergenza?
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