da canemacchina » 01/03/2011, 02:01
Il metodo converge con ordine 1 in caso di radici multiple, in modo quadratico in caso di radici semplici.
Per "in caso di radici semplici" o "in caso di radici multiple" non dovete intendere che la funzione ha solo radici semplici o multiple.
Se state approssimando una radice di una funzione che è multipla, allora convergerete in modo lineare, viceversa se state approssimando una radice semplice, covergerete quadraticamente.
Nel caso della funzione $(x-2)^2(x-1)(x+1)$ se approssimi la radice $x=2$ allora convergi linearmente, se approssimi la radice $x=1$ o $x=-1$ allora convergi quadraticamente.
Come comportarsi in questo caso?
Beh non è semplice. Innanzi tutto il metodo di Newton, potendo convergere solo localmente, necessita di uno studio preliminare (analitco o numerico) per poter essere innescato. Una volta innescato se lo studio ha determinato che la radice che approssimeremo è multipla, allora sappiamo che la convergenza è lineare e possiamo operare qualche modifica per ripristinare la convergenza quadratica (@Blackorgasm: quello non è l'unico modo, è il modo migliore se conosci la molteplicità di quella radice, altrimenti si usa un altro metodo).
Se lo studio ha determinato una radice semplice, allora possiamo andare normalmente con una convergenza quadratica.
Mi sono spiegato bene?
p.s: ovviamente, non è semplice nel caso generale. Nel tuo caso capire quali siano le radici e sapere la loro molteplicità è semplice, quindi se su quella funzione devi fare qualche esempio è facile...