Caratterizzazione della traccia di matrici

Messaggioda Martino » 22/09/2017, 18:48

La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi diagonali. È facile vedere la funzione traccia $tr$ è lineare e che $tr(AB)=tr(BA)$ per ogni $A,B$ matrici quadrate $n xx n$.

Indichiamo con $M_n(k)$ (dove $k$ è un corpo) l'insieme delle matrici $n xx n$ a coefficienti in $k$. Si tratta di un'algebra, cioè uno spazio vettoriale che è anche un anello (il prodotto è la moltiplicazione usuale tra matrici) e le operazioni sono compatibili. La traccia è allora una funzione $f:M_n(k) to k$.

Mi dicono che la traccia è (a meno di proporzionalità) l'unica funzione lineare $f:M_n(k) to k$ con la proprietà che $f(AB)=f(BA)$ per ogni $A,B$ in $M_n(k)$. Cioè se una $f$ ha queste proprietà allora è un multiplo della traccia. Secondo voi è vero?
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Messaggioda Paolo90 » 22/09/2017, 19:57

Ciao Martino! :-)

Sì, quanto affermi è vero e dovrebbe vedersi facilmente usando la base canonica dello spazio delle matrici. Infatti, sia $f$ una funzione che soddisfa le proprietà che dici e sia $e_{ij}$ la matrice che ha tutti zeri tranne un 1 in posizione $(i,j)$. Allora se $i \ne j$ si ha che $e_{ij} = [e_{ii}, e_{ij}]$ (le quadre indicano il commutatore) e quindi, usando l'ipotesi, la $f$ si annulla su tutti gli elementi $e_{ij}$ con $i \ne j$.

D'altro canto, su $e_{ii}$ si ha $f(e_{ii}) = f(e_{i1}e_{1i}) = f(e_{1i}e_{i1}) = f(e_{11})$ e ora la tesi segue scrivendo ogni elemento di $M_n$ in coordinate e sfruttando la linearità.

P.S. controlla gli indici perché sono un po' di fretta e potrei averne sbagliato qualcuno ;-)
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Re: Caratterizzazione della traccia di matrici

Messaggioda killing_buddha » 22/09/2017, 22:41

La traccia di un endomorfismo si può definire in qualsiasi categoria monoidale intrecciata, ed è una conseguenza della definizione che la traccia sia invariante per permutazioni cicliche; nel caso di \(\bf Vec\) con $\otimes$ la definizione astratta coincide, ovviamente, con la traccia di un operatore lineare definita in coordinate, e tuttavia il fatto che essa abbia una proprietà universale resta vero :-)

Se ti serve un riferimento, si tratta del lemma 1.5.1 a pagina 22 di
Turaev, Vladimir G. Quantum invariants of knots and 3-manifolds. Vol. 18. Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 2016.

Ti linkerei il libro direttamente, ma poi mi cazziano.

La dimostrazione di questo risultato è posposta ad un momento successivo, quando è stato introdotto un calcolo grafico (e ne è stata mostrata la consistenza e l'equivalenza con il calcolo delle derivazioni nella semantica delle categorie monoidali intrecciate): la trovi a pagina 45, §2.7.4, fig. 2.13. Del resto ti consiglio di farlo come esercizietto :-)
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Re: Caratterizzazione della traccia di matrici

Messaggioda killing_buddha » 22/09/2017, 22:44

E' curioso che come corollario esista una teoria delle tracce per endomorfismi di moduli, che però manda completamente a ramengo l'intuizione che avevi per gli spazi vettoriali:
https://math.stackexchange.com/question ... on-modules

Allo stesso modo è interessante cosa la nozione di traccia descriva "davvero" quando la formalizzi correttamente: in un certo senso la nozione di traccia conta il numero di punti fissi, ed una formula di traccia mette sotto lo stesso ombrello diversi oggetti che, senza linguaggio categoriale, sembrano sconnessi:
http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/26/23/26-23bw.pdf (leggi in particolare nell'abstract "By the Lefschetz fixed point theorem, if an endomorphism of a topological space is fixed-point-free, then its Lefschetz number vanishes. This necessary condition is not usually sufficient, however; for that we need a refinement of the Lefschetz number called the Reidemeister trace. Abstractly, the Lefschetz number is a trace in a symmetric monoidal category, while the Reidemeister trace is a trace in a bicategory"
Questo punto di vista ha generato molta letteratura (quasi tutta di Kate e Michael): un lavoro successivo https://arxiv.org/pdf/1406.7854.pdf prova che addirittura le tracce sono lineari: "if an endomorphism of the colimit is induced by an endomorphism of the diagram, then its trace can be calculated as a linear combination of traces on the objects in the diagram."
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Re: Caratterizzazione della traccia di matrici

Messaggioda Martino » 24/09/2017, 19:25

Vi ringrazio :) sembra più facile di quello che sembra. Mi sembra una cosa molto interessante! Ci ho pensato per via della teoria dei caratteri dei gruppi. Quindi probabilmente si può definire un "carattere" di un'algebra qualsiasi (non solo di un'algebra gruppo) come una funzione lineare costante nelle classi di coniugio!

Grazie Fosco, mi sembra molto interessante, anche perché è esattamente quello a cui stavo pensando. Mi serve un po' di tempo per digerire tutto il materiale.
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