Un po' di spettri

[Delirium]

Problema. Sia \( u : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \) continua e limitata (possibilmente non costante) e si consideri \( M_u : L^2 (\mathbb{R}) \to L^2 (\mathbb{R}) \) definito da \[ f \mapsto u f \] (operatore di moltiplicazione). \( M_u \) è lineare e continuo. Mostrare che:

1. \( \sigma(M_u) = \overline{u(\mathbb{R})} \);
2. \(M_u\) non è compatto.

Quanto sopra continua a valere anche se \( u \in L^\infty \)?

[gugo82]

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Scusa, non ho resistito!

[dan95]

Ci provo...

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1) L' operatore $(\lambda -u)I$ è invertibile se e solo se $\lambda-u \ne 0$ dunque $u(\mathbb{R}) \sube \sigma(M_u)$, in particolare (con abuso di notazione) anche $u(\pm \infty) \in \sigma(M_u)$ che sono finiti per ipotesi. Quindi $\sigma(M_u)=\bar(u(\mathbb{R}))$

2) Lo spettro è non numerabile ($u$ continua non costante) quindi $M_u$ non è compatto.

[Delirium]

[...] 1) L' operatore $(\lambda -u)I$ è invertibile se e solo se $\lambda-u \ne 0$ [...]

Questo e' esattamente quello che sto chiedendo di dimostrare. Fammi vedere iniettivita', suriettivita' e doppia inclusione insiemistica.

[dan95]

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Fissiamo $u$ e chiamiamo $T_{\lambda}=(\lambda-u)I$, se $\lambda$ non appartiene a $\bar(u(\mathbb(R))$, allora $T_{\lambda}$ è invertibile e ha inversa $T_{lambda}^{-1}=\frac{1}{\lambda-u}I$,

Iniettività)

Se $T_{lambda}f-T_{lambda}g=T_{lambda}(f-g)=(\lambda-u)(f-g)=0$ segue che $f-g=0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ poiché $|\lambda-u|>0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$.

Suriettività)

Sia $g \in L^2(\mathbb{R})$ allora $f=T_{\lambda}^(-1)g \in L^2(\mathbb{R})$ per ipotesi di limitatezza su $u$ e per il fatto che $\lambda$ non appartiene alla chiusura dell'immagine di $u$ quindi esiste $M>0$ tale che $0<|\lambda-u|^{-1}<M$ per ogni $x \in \mathbb{R}$, dunque $f$ è tale che $T_{\lambda}f=g$.

Viceversa, ....

[Delirium]

@dan: le idee sono li', ma ci sono delle cose a cui devi stare attento. Per esempio, gli elementi di \( L^2 \) non sono funzioni ma sono classi di equivalenza. Le uguaglianze tra elementi di \( L^2 \) sono sempre uguaglianze quasi ovunque (a meno di scegliere una rappresentante della classe). Poi non ho capito perche' la controimmagine sia un punto (?)

[Bremen000]

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La prima cosa che mostro è il seguente

Lemma
Sia\( \text{ Mis} (\mathbb{R} ; \mathbb{C}) := \{ g : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \mid u \text{ è misurabile} \} \) e \( u \in \text{ Mis} (\mathbb{R}; \mathbb{C}) \). Sia
\[ M_u : L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C}) \to \text{Mis} (\mathbb{R} ; \mathbb{C}) \quad \quad f \mapsto uf \]
Allora \( M_u(L^2(\mathbb{R} ; \mathbb{C})) \subseteq L^2(\mathbb{R} ; \mathbb{C}) \) se e solo se \( u \in L^{\infty} (\mathbb{R} ; \mathbb{C}) \).
Dimostrazione:
La sufficienza è chiara. Mostriamo la necessità. Supponiamo per assurdo che sia \( u \notin L^{\infty} (\mathbb{R} ; \mathbb{C}) \), allora per ogni $K \in \mathbb{N}$ l'insieme \( S_K:= \{ x \in \mathbb{R} \mid |u(x)| > K \} \) ha misura positiva. Per ogni $R \in \mathbb{N} $ sia $B_R$ la palla centrata in $0$ di raggio $R$. Allora
\[ \bigcup_{R \in \mathbb{N} } S_K \cap B_R = S_K \Rightarrow \exists \, \overline{R}_K \in \mathbb{R} \mid \mu (S_K \cap B_{\overline{R}_K}) >0 \]
Pongo quindi per ogni \( K \in \mathbb{N} \)

\[ f_{K}(x) := \frac{\chi_{S_K \cap B_{\overline{R}_K}} (x)}{ \sqrt{\mu(S_K \cap B_{\overline{R}_K})}} \in L^2(\mathbb{R} ; \mathbb{C}) \quad \quad \| f_{K} \|_{ L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C})} =1 \]
Allora
\[ \|M_u\|_{\text{op: } L^2 \to L^2} \ge \| M_u f_{K} \|_{ L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C})}^2 = \int_{\mathbb{R}} |uf_{K}|^2 d\mu = \int_{S_K \cap B_{\overline{R}_K} } |uf_{K}|^2 d\mu > K^2 \frac{\mu(S_K \cap B_{\overline{R}_K})}{\mu(S_K \cap B_{\overline{R}_K})} = K^2 \]

Per l'esercizio:
Prendo \( u \in L^{\infty} (\mathbb{R}; \mathbb{C}) \) e considero l'operatore $M_u$ definito come sopra. Sia $\lambda \in \mathbb{C}$.

Spettro puntuale:
\[ M_u -\lambda I \text{ iniettivo } \Leftrightarrow [ f \in L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C}) \, , \, (M_u -\lambda I)f \Rightarrow f =0 ] \Leftrightarrow [ f \in L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C}) \, , \, (u-\lambda) f =0 \Rightarrow f=0 ] \Leftrightarrow \mu ( \{ x \in \mathbb{R} \mid u = \lambda \}) =0 \]

Da cui lo spettro puntuale \( \sigma_p (M_u) = \{ \lambda \in \mathbb{C} \mid \mu ( \{ x \in \mathbb{R} \mid u = \lambda \}) >0 \} \)

Risolvente: sia \( \lambda \in \mathbb{C} \setminus \sigma_p(M_u) \)

\[ \lambda \in \rho(M_u) \Leftrightarrow M_u - \lambda I \text{ è invertibile} \Leftrightarrow (M_u- \lambda I)^{-1} \text{ è ben definito da } L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C}) \to L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C}) \]
e poiché

\[ (M_u- \lambda I)^{-1} = M_{\frac{1}{u-\lambda}} : L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C}) \to \text{Mis} (\mathbb{R} ; \mathbb{C}) \quad \quad f \mapsto \frac{f}{u-\lambda} \]

si ha per il Lemma che \( (M_u- \lambda I)^{-1} \) è ben definito da \( L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C}) \) in \( L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C}) \) se \( {\frac{1}{u-\lambda}} \in L^{\infty} (\mathbb{R}; \mathbb{C}) \) cioè se esiste \( \epsilon >0 \) tale che \( |u(x)-\lambda| \ge \epsilon \text{ q.o.} \)

Da cui l'insieme risolvente è \( \rho(M_u) = \{ \lambda \in \mathbb{C} \mid \exists \, \epsilon>0 \mid |u(x)-\lambda| \ge \epsilon \text{ q.o.} \} \)

Spettro continuo: sia ora \( \lambda \in \mathbb{C} \setminus (\sigma_p(M_u) \cup \rho(M_u)) \). Dunque si ha che \( \mu ( \{ x \in \mathbb{R} \mid u(x) = \lambda \}) = 0 \) e che \( \nexists \, \epsilon >0 \mid |u(x) - \lambda | \ge \epsilon \text{ q.o.} \) i.e. per ogni \( \epsilon >0 \) si ha \( \mu ( \{ x \in \mathbb{R} \mid |u(x)-\lambda| < \epsilon \}) >0 \) . Mostro che in tal caso l'immagine di \( M_u-\lambda I \) è densa in \( L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C}) \).

Sia quindi \( g \in L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C}) \), devo mostrare che esiste una successione \( \{g_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset (M_u-\lambda I)( L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C})) \) tale che \( g_n \to g \) nel senso di \( L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C})) \).

Sia \( A_n := \{ x \in \mathbb{R} \mid |u(x) - \lambda | \ge \frac{1}{n} \} \) per ogni $n \ge 1$ e definisco per ogni $n \ge 1$
\[ g_n := g \chi_{A_n} \in (M_u-\lambda I)( L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C})) \]

infatti
\[ g_n = (M_u-\lambda I)h_n \quad \quad h_n = \frac{g_n}{u-\lambda} \in L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C}) \]

giacché

\[ \| h_n \|_{ L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C})}^2 = \int_{A_n} \frac{|g|^2}{ |u-\lambda|^2} d \mu \le n^2 \| g \|_{ L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C})}^2 \]

Infine chiaramente \( g_n \to g \) q.o. e per convergenza dominata pure in \( L^2(\mathbb{R}; \mathbb{C}) \).

Da cui abbiamo che \( \sigma_c (M_u) = \{ \lambda \in \mathbb{C} \mid \mu ( \{ x \in \mathbb{R} \mid u(x) = \lambda \}) = 0 \text{ e } \nexists \, \epsilon >0 \mid |u(x) - \lambda | \ge \epsilon \text{ q.o.} \} \)

Spettro residuo: \( \sigma_r(M_u) = \emptyset \).



Conclusione
Infine si è mostrato che \( \sigma(M_u) = \{ \lambda \in \mathbb{C} \mid \nexists \, \epsilon >0 \mid |u(x) - \lambda | \ge \epsilon \text{ q.o.} \} \)

Ora nel caso $u$ sia continua si ha che \( \{ \lambda \in \mathbb{C} \mid \nexists \, \epsilon >0 \mid |u(x) - \lambda | \ge \epsilon \text{ q.o.} \} = \overline{u(\mathbb{R})} \).

Infine se $u$ è continua e non costante \( M_u \) non è compatto perché il suo spettro non è numerabile.

[Delirium]

[dan95]

Io mi sono fermato al viceversa... mi manca da dimostrare la non suriettività (perché la non iniettività non riesce) di $T_{\lambda}$, con $\lambda \in \bar(u(\mathbb{R}))$, prendendo una funzione $g \in L^2(\mathbb{R})$ tale che $T_{\lambda}^(-1)g \notin L^2(\mathbb{R})$, la funzione $g$ dipende da quanto rapidamente $u$ tende a $\lambda$...perdonate il discorso qualitativo

[Delirium]

Io mi sono fermato al viceversa... mi manca da dimostrare la non suriettività (perché la non iniettività non riesce) di $T_{\lambda}$, con $\lambda \in \bar(u(\mathbb{R}))$, prendendo una funzione $g \in L^2(\mathbb{R})$ tale che $T_{\lambda}^(-1)g \notin L^2(\mathbb{R})$, la funzione $g$ dipende da quanto rapidamente $u$ tende a $\lambda$...perdonate il discorso qualitativo

Se vuoi dimostrare che \( \overline{u(\mathbb{R})} \subseteq \sigma(T_\lambda) \) puoi equivalentemente mostrare che \( \sigma(T_\lambda)^c \subseteq \overline{u(\mathbb{R})} {}^c \); un operatore lineare e continuo che sia anche invertibile è limitato da sotto...