giuseppe87x ha scritto:Trovare tutte le soluzioni razionali della seguente equazione
$x^2+7y^2=2$
Ciao, Giuseppe
Ieri sera ho visto questa tua proposta
e mi è capitato di affrontarla così (forse
il metodo è un po' più 'artigianale', ma
credo che sia ugualmente interessante).
Dalla relazione:
x² + 7·y² = 2
passo a quest'altra:
x² + 9·y² = 2·(y²+1) = (y+1)² + (y-1)²
ottenendo:
9·y² - (y-1)² = (y+1)² - x²
e poi:
(4y-1)·(2y+1) = (y+1+x)·(y+1-x).
A questo punto, potrei porre, senza
limitare la generalità della questione:
(4y-1)·h = y+1-x
2y+1 = (y+1+x)·h
per un
h razionale che per ora suppongo
non nullo.
Con pochi semplici passaggi, riesco a
esprimere
x e
y in funzione di
h:
x = ½(6h+1-h²)/(2h²-h+1)
y = ½(h²+2h-1)/(2h²-h+1).
Vediamo che
h può essere un numero
razionale qualunque, dal momento che
le espressioni danno valori accettabili
anche per
h=0 e il denominatore non
si annulla mai in
Q.