Messaggioda karl » 25/09/2006, 14:35

Quella e' la circonferenza che e' un caso particolare dell'ellisse.
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Messaggioda Thomas » 25/09/2006, 15:03

giuseppe87x ha scritto:Io ho utilizzato il tuo stesso metodo, non sapevo si chiamasse metodo di Klein... :D


beh... complimenti per l'intuizione :-D ...
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Messaggioda Aethelmyth » 25/09/2006, 20:00

karl ha scritto:Quella e' la circonferenza che e' un caso particolare dell'ellisse.
karl

Si, ma pensavo anche l'ellisse xD .... mi sa ke devo ripassami le coniche :roll:
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Re: Equazione nei razionali.

Messaggioda Bruno » 28/09/2006, 09:10

giuseppe87x ha scritto:Trovare tutte le soluzioni razionali della seguente equazione

$x^2+7y^2=2$



Ciao, Giuseppe :D

Ieri sera ho visto questa tua proposta
e mi è capitato di affrontarla così (forse
il metodo è un po' più 'artigianale', ma
credo che sia ugualmente interessante).

Dalla relazione:

x² + 7·y² = 2

passo a quest'altra:

x² + 9·y² = 2·(y²+1) = (y+1)² + (y-1)²

ottenendo:

9·y² - (y-1)² = (y+1)² - x²

e poi:

(4y-1)·(2y+1) = (y+1+x)·(y+1-x).

A questo punto, potrei porre, senza
limitare la generalità della questione:

(4y-1)·h = y+1-x
2y+1 = (y+1+x)·h

per un h razionale che per ora suppongo
non nullo.
Con pochi semplici passaggi, riesco a
esprimere x e y in funzione di h:

x = ½(6h+1-h²)/(2h²-h+1)
y = ½(h²+2h-1)/(2h²-h+1).

Vediamo che h può essere un numero
razionale qualunque, dal momento che
le espressioni danno valori accettabili
anche per h=0 e il denominatore non
si annulla mai in Q.
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Messaggioda fields » 28/09/2006, 11:12

Cavolo, Bruno, ma è una soluzione bellissima! Complimenti! :D Mi hai fatto imparare qualcosa di nuovo!

L'unico piccola correzione che mi sembra sia necessaria è questa. Devi porre $y\ne -1/2$ e $y\ne 1/4$ perché valga l'equivalenza fra la prima equazione e il secondo sistema:

(4y-1)·(2y+1) = (y+1+x)·(y+1-x).

(4y-1)·h = y+1-x
2y+1 = (y+1+x)·h


trovandoti una o due soluzioni particolari.
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Messaggioda Bruno » 28/09/2006, 11:48

Grazie, Fields :D
Averti fatto imparare qualcosa di nuovo,
ti assicuro, mi lascia davvero perplesso...
Comunque, ne son proprio contento!
Accolgo e condivido la tua precisazione
su y, senz'altro doverosa.

A presto!
Bruno
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