Intuitivamente, tu hai una retta tangente destra e una retta tangente sinistra distinte ad \(\displaystyle i(M)\) in \(\displaystyle(0,0)\), quindi ti aspetti che \(\displaystyle T_{(0,0)}i(M)\cong\mathbb{R}^2\)!
Ma noi sappiamo che \(\displaystyle T_0M\equiv T_0\mathbb{R}\cong\mathbb{R}\); e se \(\displaystyle i\) fosse un embedding, allora doremmo avere \(\displaystyle T_{i(0)}i(M)=T_{(0,0)}i(M)\cong\mathbb{R}\), da ciò la nostra intuizione è sbagliata? No!, possiamo affermare che \(\displaystyle i\) non è un embedding!
Rigorosamente, il "differenziale" di \(\displaystyle i\) è una funzione (lineare) ben definita; e per esattezza:
\[
i:x\in M\to(x,|x|)\in\mathbb{R}^2\\
di:TM\to T\mathbb{R}^2;
\]
ma come tu noti: \(\displaystyle d_0i\) è la mappa lineare nulla, quindi per definizione \(\displaystyle i\) non è un embedding!
Questo ragionamento rigoroso, sarebbe corretto se il grafico della funzione \(\displaystyle|\cdot|\) fosse una varietà differenziabile e se \(\displaystyle i\) fosse una mappa liscia di varietà differenziabili...
Sappiamo che \(\displaystyle T_{i(x)}i(M)=\langle(1,1)\rangle\) se \(\displaystyle x>0\) e \(\displaystyle T_{i(x)}i(M)=\langle(1,-1)\rangle\) se \(\displaystyle x<0\); quindi, identificando \(\displaystyle T_{i(0)}i(M)\) con lo spazio delle \(\displaystyle\mathbb{R}\)-derivazioni di \(\displaystyle i(M)\) in \(\displaystyle i(0)\), avremmo che le "derivate" \(\displaystyle(1,1)\) e \(\displaystyle(1,-1)\) appartengono a \(\displaystyle T_{i(0)}i(M)\); da ciò \(\displaystyle T_{i(0)}i(M)\cong\mathbb{R}^2\), ovvero \(\displaystyle i(M)\) non è una varietà differenziabile!