Facciamo un po' di ordine ed anche chiarezza: la prima domanda è equivalente al chiedersi se \(\displaystyle i(M)\) è una sottovarietà differenziabile di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\); quindi (a meno di omeomorfismi) su \(\displaystyle M\) si considera la topologia di sottospazio di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\), ed è una banalità affermare che così \(\displaystyle M\) è una varietà topologica di dimensione \(\displaystyle1\).
Considerato il generico punto \(\displaystyle P=(x,|x|)\in i(M)\) con \(\displaystyle x\neq0\); è un semplice calcolo dimostrare che \(\displaystyle T_Pi(M)\cong\mathbb{R}\) e come sottospazio di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) questi è \(\displaystyle\langle(1,1)\rangle\) per \(\displaystyle x>0\) e \(\displaystyle\langle(1,-1)\rangle\) per \(\displaystyle x<0\).
Con tali dati, è facile rendersi conto che \(\displaystyle T_Oi(M)\cong\langle(1,-1),(1,1)\rangle=\mathbb{R}^2\) ove \(\displaystyle O=(0,0)\), e che quindi \(\displaystyle i(M)\) non può essere una sottovarietà differenziabile di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\).
Avendo identificato \(\displaystyle M\) ed \(\displaystyle i(M)\), possiamo affermare che \(\displaystyle(M,i)\) non può essere una sottovarietà differenziabile di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)!
A questo punto, è chiaro come rispondere positivamente al secondo punto: basta considerare una biezione tra \(\displaystyle M\) e una curva liscia \(\displaystyle\Gamma\) in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\), e trasportare la struttura differenziabile di \(\displaystyle\Gamma\) su \(\displaystyle M\); in questo modo otteniamo un curva liscia \(\displaystyle(M,j)\)
embedded in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\).
Qui c'è una piccola sottigliezza: su \(\displaystyle M\)
non è data per ipotesi alcuna topologia, quindi a priori
non si può affermare che \(\displaystyle j\) sia un omeomorfismo tra \(\displaystyle M\) e \(\displaystyle\Gamma\)!, per di più, se su \(\displaystyle M\) considerassimo la topologia indotta da \(\displaystyle i(M)\), può tranquillamente accadere che \(\displaystyle j\) non sia affatto una funzione continua... Esempio: sia \(\displaystyle\Gamma=\{(x,0)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq0\}\); \(\displaystyle\Gamma\) è sconnessa ed \(\displaystyle M\) è connesso, quindi non esistono biezioni continue tra loro!
Queste sottigliezze le ritrovi quando vuoi costruire le varietà differenziabili quoziente, in particolare, i gruppi di Lie quozienti!
Se hai altri dubbi, non esitare a domandare.
P.S.: Come direbbe il mio relatore di tesi magistrale, "il terzo punto risolvilo come ti pare".
E formalmente, avresti dovuto considerare \(\displaystyle\gamma:]-1,1[\to i(M)\).
