Provo ma non sono sicuro perché teoria della misura è difficile
Per beneficio personale mi appunto che:
Sia $A \subset \mathbb{R^n}$.
Si dice che una successione di funzioni $\{f_n\}$, con $f_n \in L^2(A)$,
converge fortemente a una funzione $f \in L^2(A)$ se $f_n \to f$ in norma $L^2(A)$; ovvero,
$$\lim_{n \to \infty} \left( \int_A |f_n-f|^2 \right)^{\frac12}= 0 \ .$$
Si dice che una successione di funzioni $\{f_n\}$, con $f_n \in L^2(A)$,
converge debolmente a una funzione $f \in L^2(A)$ se $\langle f_n, g \rangle \to \langle f, g \rangle $ per ogni $g \in L^2(A)$; ovvero,
$$\lim_{n \to \infty} \int_A f_ng \, dx = \int_A fg \ .$$
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1. Sia $f_n \in X$ convergente fortemente a $f \in L^2(0,1)$. Devo dimostrare che $f \in X$, ovvero che $f(x) \in K$ quasi ovunque. Per assurdo, supponiamo che esista un insieme $A \subseteq K$ di misura strettamente positiva tale che $f(A) \cap K = \emptyset$. Allora, per la proprietà di regolarità dall'interno della misura di Lebesgue, esiste un insieme compatto $B \subset A$ di misura strettamente positiva. Sia ora
$$ c = \text{dist}(K, f(B)) = \inf \{d(x,y):x \in K, y \in f(B)\} \, .$$
Poiché la funzione $d$ varia in $K \times B$, che è compatto, l' $\text{inf}$ è in realtà un $\min$; inoltre, poiché $K$ e $B$ sono disgiunti, $c$ è strettamente positivo.
EDIT: per completezza, segnalo che l'ultimo passaggio è sbagliato, in quanto $K$ è solo chiuso, ma non necessariamente compatto. D'altronde la dimostrazione può procedere ugualmente, in quanto vale il seguente risultato: se $U$ è un sottoinsieme compatto e $V$ è un sottoinsieme chiuso di uno spazio metrico, con $U \cap V = \emptyset$, allora $\text{dist}(U, V)>0$.
Segue che, per ogni $n$ intero positivo,
$$ \int_0^1 |f_n-f|^2 \geq \int_B |f_n-f|^2 \geq c^2 \mu(B) > 0 \, ,$$
e dunque il limite di $\int_0^1 |f_n-f|^2$ sarà a maggior ragione maggiore di $c^2 \mu(B)$, contro l'ipotesi.
2. Sia $f_n \in X$ convergente debolmente a $f \in L^2(0,1)$. Devo dimostrare che $f \in X$, ovvero che $f(x) \in K$ quasi ovunque. Per assurdo, come prima, supponiamo che esista un insieme $A \subseteq K$ di misura strettamente positiva tale che $f(A) \cap K = \emptyset$. Allora, per la proprietà di regolarità dall'interno della misura di Lebesgue, esiste un insieme compatto $B \subset A$ di misura strettamente positiva. Definiamo ora
$$B^{+} = \{x \in B : f(x) > y, \ \forall y \in K\} \qquad \text{ e } \qquad B^{-} = \{x \in B : f(x) < y, \ \forall y \in K\} \ .$$
Poiché $K$ è un intervallo, si ha che $B = B^+ \cup B^-$, e quindi almeno uno dei due sottoinsiemi deve avere misura strettamente positiva. Senza perdita di generalità, supponiamo che $\mu(B^+) > 0$. Come prima, definiamo
$$ \text{dist}(K, f(B^+)) = c > 0 \ .$$
Allora, applicando la definizione di convergenza debole con $g = \chi_B$ (la funzione indicatrice di B), si ottiene che, per ogni $n$ intero positivo,
$$\int_0^1 f_n \chi_B = \int_B f_n \leq \int_B (f-c) = \left ( \int_B f \right )- c\mu(B) \, ,$$
e, passando al limite, si viola ancora una volta l'ipotesi di convergenza.