Chiusura forte e debole in \(L^2([0,1])\)

[Delirium]

Ciao VG, mi pare di ricordare di aver ritenuto ragionevole il seguente argomento:

[...] Poi se supponiamo \(K \subset [0,1]\) mi sembra che si possa semplicemente dire che: \(\|f_n - f \|_{L^2([0,1])} \to 0 \) implica, a meno di sottosuccessioni, \(f_n (x) \to f(x) \) quasi ovunque in \([0,1]\). Posto poi \[A_n = \{x \in K \, : \, f_n (x) \notin K \} \]si ha che, per ipotesi, \(\mu (A_n) = 0 \) per ogni \(n \in \mathbb{N}\); e inoltre \( \mu \left( \cup_{n \in \mathbb{N}} A_n \right) = 0 \). Pertanto per ogni \(x \in K \setminus \cup_{n \in \mathbb{N}} A_n \) si ha che \(f_n (x) \in K\), e questo per ogni \(n \in \mathbb{N}\). Siccome \(K\) è chiuso \(f(x) \in K\) necessariamente.

Però è passato parecchio tempo, e adesso ho la testa altrove

[ViciousGoblin]

Non c'è problema, in effetti è passato un po' di tempo. Aggiungo qualche dettaglio (magari in futuro ti torna utile...)

Il tuo argomento è sostanzialmente corretto solo che il ruolo di $K$ è un po' confuso. Non è necessario chiedere $K\subset[0,1]$.
Gli $A_n$ sono $\{x\in[0,1]:f_n(x)\notin K\}$ -- $A$ la loro unione a cui va aggiunto l'insieme delle $x$ per cui $f_n(x)$ non converge a $f(x)$. A questo punto $A$ è trascurabile in $[0,1]$ e fuori di $A$ $f(x)\in K$ (come hai detto tu).

Per il secondo quesito si usa il fatto che l'insieme $\{f\in L^2 : f(x)\in K \mbox{ q.o. } x\}$ è chiuso per il primo punto ed è convesso (dato che $K$ è convesso). Dunque tale insieme è debolmente chiuso per motivi generali di analisi funzionale.

Ciao.