Suggestive successioni di interi

Messaggioda Vincenzo10 » 02/10/2016, 21:20

La diagonale di un quadrato è incommensurabile con il lato. Vuol dire che non esiste alcun segmentino che faccia da unità di misura $bar(u)$ e che possa essere riportato un numero intero di volte sul lato e un altro intero di volte sulla diagonale. Ovvero tale che $d=p*bar(u) $ e $ l=n*bar(u)$ con $p$ ed $n$ interi.
La relazione pitagorica tra segmenti geometrici $d^2=2*l^2$ diventa $p^2=2n^2 $ $ cdots [1]$ ovvero una relazione tra numeri interi che non può essere soddisfatta da nessuna coppia di numeri interi.
Ma supponiamo – per assurdo – che ci sia una coppia del genere e tramite un percorso originale proviamo a trovarla.
Con riferimento alla [1] scomponiamo $p$ nella somma $p=n+q$ in cui $n$ è l’intero che rappresenta il lato e $q$ quel che manca alla diagonale (intero anche lui).
Si ha allora che il $I^°$ membro della [1] diventa $(n+q)^2=n^2+2nq+q^2$
La [1] diventa $2nq+q^2=n^2 $ $ cdots [2]$ nelle variabili $n$ e $q$.
Adesso se scomponiamo ulteriormente $n$ nel modo seguente : $n=2*q+s$ $cdots [3]$ in cui $q$ ed $s$ sono interi e andiamo a sostituire nella [2] otteniamo:
I° membro $2q*(2q+s)+q^2=4q^2+2qs+q^2$
II° membro $(2q+s)^2=4q^2+4qs+s^2$
Da cui si ricava $2qs+s^2=q^2 $ $ cdots cdots [4] $ che è la stessa equazione [2] tra le variabili intere “derivate” $q$ ed $s$ al posto di $n$ e $q$.
Se io continuo spezzando $q$ in $s$ e $t$ secondo lo stesso criterio per cui $q=2*s+t $ $cdots cdots [5]$
ottengo $2st+t^2=s^2 $ $cdots cdots [6] $ sempre la stessa relazione tra variabili intere derivate di valore però sempre più piccolo rispetto alle originarie $n$ e $q$ .
Perciò se io ora capovolgo il procedimento e anziché partire da $n$ e $q$ parto da una coppia “piccola” di interi – scelta arbitrariamente - e applico la [5] in modo progressivo anziché in modo regressivo dovrei ottenere una relazione di tipo [2] sempre più soddisfatta man mano che la successione cresce.
Siccome gli interi (sempre positivi in questo contesto) più piccoli sono $0$ e $1$ partirò da lì per ottenere la seguente successione:
$0,1,2,5,12,29,70,169…….$

Veramente molto ma molto interessante perché il penultimo più l’ultimo termine rappresenta la diagonale ( o meglio un’approssimazione della diagonale) ovvero $n+q$ e l’ultimo rappresenta il lato ovvero $n$. Il rapporto tra loro è la radice di 2 sempre meglio approssimata man mano che la successione di interi aumenta. Provare per credere.
Niente male non è vero? Ma vedremo a cosa ci porta una impostazione del genere…….
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Re: Suggestive successioni di interi

Messaggioda Erasmus_First » 03/10/2016, 04:41

Successioni di interi come queste che dici sono note fin dall'antichità ellenistica!

Mi è difficile, adesso, ripescare un articoletto del prof. Silvio Maracchia (allora docente di "Storia della Matematica" presso l'università "La Sapienza" – Roma) pubblicato sul foglio "MatematicaMente" della Mathesis di Verona (mensile nato con questo nome ben prima del presente sito) nel quale il prof. Maracchia porta proprio l'esempio di due successioni crescenti di numeri interi mutuamente collegate – diciamole a(n) e b(n) – tali che il rapporto a(n)/b(n) tende a $sqrt2$. La cosa interessante è che queste successioni sono ... storiche! Ossia: Maracchia le attribuisce a non ricordo più quale matematico ellenistico (cioè di circa 2000 anni fa).
Se tritroverò quell'articoletto, lo trascriverò in questo "thread".

D'altra parte ... ci sono infinite terne pitagoriche con differenza 1 tra i cateti. Si può quindi trovare un triangolo rettangolo con lati commensurabili che differisce dal triangolo rettangolo isoscele (cioè "mezzo quadrato") di una quanttà infinitesima.
Per trovarle, basta partire da t = [3, 4, 5] e moltiplicare la terna (come vettore) per la matrice simmetrica
|2, 1, 2|
|1, 2, 2| = C
|2, 2, 3|
Si ottiene, successivamente:
t0 = t·C^0 = t = [3, 4, 5]
t1 = t·C = [20, 21, 29]
t2 = t·C^2 = t1·C = [119, 120, 169]
t3 = t·C^3 = t2·C = [696, 697, 985]
t4 = t·C^4 = t4·C = [4059 4060, 5741]
---
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Re: Suggestive successioni di interi

Messaggioda Vincenzo10 » 04/10/2016, 16:47

Erasmus, ti ringrazio per l’attenzione.
L’idea di sfruttare le terne pitagoriche che tu esponi per ricavare la radice di 2 necessita di una procedura attuativa più complicata della mia perché si tratta di applicare una matrice 3x3 ad ogni step. Inoltre non è chiaro perché tu usi proprio quella matrice.
La successione che ho descritto nasce invece da un modo particolare di “non risolvere” l’equazione diagonale/cateto relegando in sostanza l’errore nei primi termini di una successione di interi generata da un algoritmo.
Non si può negare che quella, la mia, è una successione semplice, elegante e potente.
Adesso proviamo a generalizzare il ragionamento un passo alla volta.
Io sono partito dal constatare che la seguente equazione avente $L$ come parametro intero
$7cdots $ $Lqn+q^2=n^2$

pensata nelle incognite $q$ ed $n$ (con $q<n$ ) RICORRE mediante la sostituzione $n=L*q+s$ in cui $s$ precede $q$. Infatti se facciamo i dovuti passaggi otteniamo:
$8cdots $ $Lsq+s^2=q^2$

In cui le varabili intere “figlie” $s$ e $q$ prendono ESATTAMENTE il posto di $q$ ed $n$.

D’altra parte, nel tentativo di trovare una successione che converga alla radice quadrata di un numero qualsiasi $K$ noi vorremmo risolvere la seguente equazione: $ X+q/n=sqrt(K) $ in cui $X$ è la parte intera di $sqrt(K)$ e $q/n$ è la sua parte decimale sufficientemente approssimata. Tale equazione dopo quadratura diventa:
$9cdots $ $X^2+2Xq/n+q^2/n^2=K$

Adesso per avere successo devo adattare la [7] alla [9]. Il che si ottiene dividendo i suoi termini per $n^2$.
$10 cdots $ $Lq/n+q^2/n^2=1 $

Dal confronto tra gli stessi termini della [9] e della [10] si ricava:
a) $L=2*X$ e b) $K-X^2=1$

Quindi
$11cdots$ $q/n=(sqrt(L^2+4)-L)/2$

Risultato molto interessante perché consente la chiusura dei primi passi finalizzati a una teoria di questo tipo di serie.
Infatti ora proviamo:
$L=5$ genera la serie $0,1,5,26,135,701 cdots$ il cui rapporto $q/n$ converge a $(sqrt(25+4)-5)/2$
$L=4$ genera la serie $0,1,4,17,72,305 cdots $ che converge a $(sqrt(16+4)-4)/2$
$L=3$ genera la serie $0,1,3,10,33,109 cdots$ che converge a $(sqrt(9+4)-3)/2$
$L=2$ genera la serie $0,1,2,5,12,29,70 cdots$ che converge a $(sqrt(4+4)-2)/2$ che è la mia serie
$L=1$ genera la serie $0,1,1,2,3,5,8,13 cdots$ che converge a $(sqrt(1+4)-1)/2$ che è di Fibonacci

Caro lettore, adesso non mi dire che tutto questo tu già lo sapevi…
Ma vedrai cosa apparirà ancora!
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Re: Suggestive successioni di interi

Messaggioda Vincenzo10 » 06/10/2016, 12:01

Riprendo il filo dalle ultime conclusioni.
Chiedo venia per aver usato il termine serie dove avrei dovuto usare il termine successione.
Diciamo che una successione di interi $”a”$ generata dalla formula ricorsiva:
$a_(n+1)=L*a_(n)+a_(n-1)$ determina un rapporto $a_(n)/a_(n-1)$ che converge al valore $(sqrt(L^2+4)-L)/2$.
Prima osservazione. Una volta avviata la successione la fermeremo quando l’approssimazione sarà sufficiente in base al problema che abbiamo davanti. Lo stop alla successione dipende dalla natura del problema. Negli esempi che seguono troncherò le successioni al sesto termine compreso lo zero. Il che vuol dire che i numeri finali saranno 701,305,109,29,5 e che l’errore relativo cresce molto e passa da 1 su 701 a 1 su 5.
Seconda osservazione. Una volta definita una successione e cioè dopo averla scritta dal primo all’ultimo termine, possiamo utilizzare l’insieme degli interi che abbiamo generato in moltissimi modi. In particolare gli ultimi interi “di testa”. Per esempio il rapporto $(L*a_(n)+2*a_(n-1))/a_(n)$ approssima direttamente $sqrt(L^2+4)$ cosicché avremo:
$sqrt(29)cong(5*701+2*135)/701$
$sqrt(20) cong (4*305+2*72)/305$
$sqrt(13)cong (3*109+2*33)/109$
$sqrt(8) =2sqrt(2)cong(2*29+2*12)/29$
$sqrt(5)cong(1*5+2*3)/5$

Terza osservazione. Se una successione non viene avviata dalla coppia 0,1 ma da una coppia qualsiasi di interi la convergenza non viene alterata. Al massimo si può avere un ritardo nel raggiungere l’approssimazione voluta. Anziché 0,1 prendiamo ad esempio 5,2 e vediamo che succede:

$5, 2, 15, 77, 400, 2077 Rightarrow (5*2077+2*400)/2077 cong sqrt(29)$
$5, 2, 13, 54, 229, 970 Rightarrow (4*970+2*229)/970 cong sqrt(20)$
$5, 2, 11, 35, 116, 383 Rightarrow (3*383+2*116)/383 cong sqrt(13)$
$5, 2, 9, 20, 49, 118 Rightarrow (2*118+2*49)/118 cong sqrt(8)$
$5, 2, 7, 9, 16, 25 Rightarrow (1*25+2*16)/25 cong sqrt(5)$

Questa indipendenza dal valore della coppia iniziale di numeri non si spiega se non dal mio punto di vista. Come ho mostrato nel trattare il rapporto diagonale/lato l'errore - anche se di entità arbitraria - introdotto nella prima coppia, viene man mano relegato dalla reiterazione del calcolo. E' un processo che "si aggiusta da solo" man mano che va avanti.
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Re: Suggestive successioni di interi

Messaggioda Erasmus_First » 09/10/2016, 01:44

Vedo che anche tu stai "scoprendo" autonomamente la teoria delle "sequenze linearmente dipendenti", cosa che a me – molto più vecchio di te – è capitata quarant'anni fa (giocando con la mia prima macchinetta calcolatrice elettronica).
In particolare ora stai elucubrando su quelle di ordine 2, cioè: un termine è combinazione lineare dei due precedenti.
Lasciami chiamare ${a_n}$ la successione che hai mostrato nel primo messaggio, cioè
$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, ...$ = 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, ...
Lasciami anche premettere $a_0$ = 0.
Questa è ovviamente la "sequenza" che , per ricorrenza, è così definita:
$a_0=0$; $a_1 = 1$; Per ogni n naturale $a_(n+2) = 2·a_(n+1)+a(n)$.
Vediamo se esiste qualche progressione geometrica $1, x, x^2, x^3, ...$ che verifica la stessa legge di ricorrenza, cioè:
$x^(n+2) = 2·x^(n+1) + x^n$
Se si scarta la soluzione banale x = 0, di progressioni geometriche che soddisfano questa legge ce ne sono due:
$x = 1+sqrt2$ e $x= 1 - sqrt2$.
Infatti
• $(1 + sqrt2)^2 = 3+ 2sqrt2 = 2·(1 + sqrt2) + 1$:
• $(1 - sqrt2)^2 = 3- 2sqrt2 = 2·(1- sqrt2) + 1$.
Allora, in generale, che soddisfano la legge di ricorrenza:
$y_(n+2)=2·y_(n+1) + y_n$
sono tutte le possibili combinazioni lineari di quelle due progressioni geometriche, ossia:
$y_n = A·(1+sqrt2)^n + B·(1-sqrt2)^n$ (con A e B costanti arbitrarie).
La tua successione è il caso particolare in cui
$A·(1 + sqrt2)^0 + B·(1-sqrt2)^0 = A + B = 0$ e
$A·(1 + sqrt2)^1 + B·(1-sqrt2)^1 = (A + B) + (A-B)·sqrt2 = 1$
ossia il caso particolare con $A = sqrt2/4$ e $B = -A = -sqrt2/4$.
• Per ogni n intero $a_n = sqrt2/4((1+sqrt2)^n - (1-sqrt2)^n)$
------
I numeri:
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, ...
li possiamo far saltare fuori in mille modi.
Per esempio, dall'equazione che ha per soluzioni $x = 1±sqrt2$, ossia $x^2 -2x -1 = 0$, possiamo ricavare l'equazione che dà la frazione continua generatrice di "uno più radice quadrata di due":
$x^2 - 2x - 1 = 0$ ⇔ $x = 2 + 1/x$ ⇔ $x=2 + 1/(2 + 1/x)$ ⇔ $x=2+1/(2+1/(2+1/x))$ ecc.
Rimettendo i membri di destra in forma di frazione semplice abbiamo:
$x = (1 + 2x)/(0 + x)$ ⇔ $x=(2 + 5x)/(1 + 2x$ ⇔ $x=(5 + 12x)/(2+5x)$ ⇔ $x=(12 + 29x)/(5+12x)$ ⇔ $(29 + 70x)/(12 + 29x)$; ...
In generale quindi:
$x = (a_(n+1)+a_(n+2)x)(a_n+a_(n+1)x)$.
E si può passare da una frazione alla successiva (avanzando di un passo nelle successione ${a_n}$) sostituendo x con $2+1/x$ dal momento che vale proprio l'uguaglianza: $x =2+1/ x$.
-------------
Una trattazione sintetica (di una pagina) delle "sequenze linearmente dipendenti" ho pubblicato già qui in "matematicamente.it".
Sta dentro alla "pagina" con ques0 URL: ––> https://www.matematicamente.it/forum/vie ... 0&t=145219
E' un'immagine PNG che ho messo in rete (caricata su postimage.org/) e che vedi cliccando sul seguente link
––>Sequenze linearmente dipendenti
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Re: Suggestive successioni di interi

Messaggioda Vincenzo10 » 13/10/2016, 13:44

Erasmus, ti ringrazio per questo impegnativo contributo.
Quella che esponi – immagino sia tua – è una teoria delle sequenze di numeri complessi. Rispetto ad essa le mie successioni di interi positivi (i.e. naturali) costituiscono un sottoinsieme ristretto. Però le proprietà che io intendo indagare sono quelle che si evidenziano nell’analisi di alcuni problemi. Anche se noti e arcinoti. Ad esempio. Perché ci si imbatte in Fibonacci? Perché si vuol capire qualcosa sulla sezione aurea. Perché ci si imbatte nella successione che ho inventato io ( o qualche ellenista prima di me)? Perché si vuol capire qualcosa che riguarda l’incommensurabile rapporto diagonale/lato. Il cuore del problema dell’origine dei numeri.
Quando ero ragazzo mi posi una domanda. La diagonale è incommensurabile col lato per colpa della irriducibile natura geometrica dei segmenti o per colpa dei numeri che vorrebbero rappresentarli? E poi l’incommensurabilità è di un solo tipo o di più tipi se si considera anche quella che c’è tra l’arco e la corda?
Certo, ci son stati fior di matematici che hanno costruito una risposta. Per esempio Cantor e Dedekind non ebbero dubbi. La colpa era dei numeri e diedero una risposta potente che tu conoscerai certamente. Ma per me il lato e la diagonale del quadrato, l’arco e la corda sono come la luna. Sempre avvolta in un candido alone di mistero anche quando qualcuno l’ha conquistata e raggiunta.

Riprendo il filo di sviluppo dalle ultime conclusioni.
Chiedo venia per aver sbagliato un pedice e ricomincio dal punto usato.
Diciamo che una successione di interi $”a”$ generata dalla formula ricorsiva:
$a_(n+1)=L*a_(n)+a_(n-1)$ determina un rapporto $a_(n+1)/a_(n)$ che converge al valore $(sqrt(L^2+4)-L)/2$.
Non c’è da stupirsi che trattandosi comunque di "sequenze linearmente dipendenti di ordine 2” - anche se limitate a “N” nel dominio di definizione e a “N” nel codominio - questo rapporto converga a uno degli zeri del polinomio caratteristico di ordine 2 i.e. $x^2-Lx-1=0$.
Questo vuol dire che il metodo originale che ho adoperato per trovare e dimostrare il limite verso cui converge la successione dei rapporti è coerente con un tipo di impostazione teorica completamente diversa.
La formula di ricorrenza è la chiave di tutto. Sto per esporre un problema di fisica in cui la successione generata dalla formula di ricorrenza non viene utilizzata per la convergenza ma per quello che è nel suo insieme. Ovvero una funzione di variabile discreta.

Ho adoperato finora formule ricorsive del tipo $a_(n+1)=L*a_(n)+K*a_(n-1)$ e ho posto sempre $K=1$. Se uno pone $L=2$ e $K=-1$ ottiene semplicemente la successione naturale dei numeri interi.
Ma se al posto di $ L=2$ si pone un razionale anche di poco minore di 2 si ottiene una successione di numeri razionali che oscillano apparentemente come una sinusoide.
Per esempio per L=1,99 e K=-1 si ottiene: 0; 1; 1,99; 2,9601; 3,900599 etc. il cui grafico è una sinusoide ( o appare tale).
C’è una spiegazione a tutto questo.
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Re: Suggestive successioni di interi

Messaggioda Vincenzo10 » 16/10/2016, 08:09

Prima di esporre il problema di fisica volevo far notare a Erasmus che, almeno nel caso della “mia” successione non è necessario che tu determini le costanti $A$ e $B$ in base ai valori iniziali $0$ e $1$. Puoi scegliere una coppia di valori qualsiasi. Ovvero puoi scegliere $A$ e $B$ con criteri molto più larghi. Per esempio se scegli $A=1$ e $B=-1$ ottieni la successione $2,2,6,14,34 cdots $ il cui rapporto penultimo/ultimo converge sempre a $sqrt(2)-1$. Questo per il principio di “segregazione” – chiamiamolo così – che ho mostrato nel penultimo messaggio.

Ecco dunque il problema di fisica.
Un peso, immerso in un fluido è attaccato ad una molla. Equazione dell’oscillatore armonico smorzato.
Esprimiamo l’accelerazione come derivata della velocità e cerchiamo di risolvere l’equazione sostituendo il differenziale della velocità con la differenza finita. Il differenziale del tempo con la differenza finita $Delta t$.
Scriviamo l’equazione differenziale :
$R1cdots cdots mdv=-kxdt-betavdt+Cdt$
in cui $k$ è la costante elastica della forza di richiamo, $beta$ il coefficiente di viscosità della forza di attrito nel fluido, $C$ una forza costante qualsiasi che nel nostro caso è il peso. Il rapporto $k/m$ viene indicato con $omega^2$ perché rappresenta il quadrato di una pulsazione. Da tale equazione facciamo discendere:
$R2cdots cdots v_(2)-v_(1) = -omega^2x_(1)Delta t –beta/mv_(1)Delta t + C/mDelta t$
Si effettua il passo successivo considerando la velocità al terzo istante e quella al secondo istante; la relazione deve mantenere la stessa forma.
$R3cdots cdots v_(3)-v_(2) = -omega^2x_(2)Delta t –beta/mv_(2)Delta t + C/mDelta t$
Si ottengono due equazioni alle differenze finite che possono essere composte per sottrazione membro a membro ottenendo una relazione tra la velocità al terzo istante, quella al secondo istante e quella al primo. Nel passaggio la differenza $x_(2)-x_(1)$ viene approssimata da $ v_(2)Delta t$
Si ottiene:
$R4cdots cdots v_(3)= (2 -omega^2Delta t^2 –(beta)/m Delta t) v_(2) – (1–(beta)/m Delta t)v_(1)$

Una vera soddisfazione per me.
In questa formula viene evidenziato sia la possibilità di adattare – vedremo come - la formula di ricorrenza delle successioni alla grandezza fisica velocità sia un modello “fisico” interpretativo della “matematica” che stiamo indagando.
Infatti noi adesso vediamo in azione i due coefficienti $L$ e $K$ e finalmente abbiamo un modello per capire perché:
1) Se $ omega^2 =0$ e $ beta/m =0$ allora la successione/funzione delle velocità degenera in una semiretta
2) Se solo $ beta/m =0$ allora la successione/funzione delle velocità consiste in una sinusoide pura
3) Se $ omega^2 ne 0$ e $beta/m ne 0$ allora la successione/funzione delle velocità consiste in una sinusoide smorzata.
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Re: Suggestive successioni di interi

Messaggioda Vincenzo10 » 18/10/2016, 13:22

Esempio di applicazione della equazione del moto armonico
$R4cdots cdots v_(3)= (2 -omega^2Delta t^2 –(beta)/m Delta t) v_(2) – (1–(beta)/m Delta t)v_(1)$
Abbiamo un oscillatore costituito da una massa appesa ad una molla in un fluido viscoso qualsiasi.
Assumiamo come riferimento un asse verticale orientato verso l’alto, con origine nel centro di richiamo della forza elastica. Come forza costante rivolta verso il basso applicata al sistema consideriamo il semplice peso.
I dati sono:
massa m=1,0Kg
coefficiente elastico k =5 nw/mt
coefficiente d’attrito viscoso $beta$= 1,0 nw sec/mt
forza peso in newton rivolta verso il basso C =-1x9,8 nw

Da questi dati ricaviamo:
$omega$ = 2,24 rad/sec
$beta$/m = 1,0 nw sec/Kg mt
C/m = -9,80 nw/Kg

Per innescare la formula ricorsiva che genera la successione, occorre scegliere i primi due elementi. La scelta deve essere compatibile con le equazioni. Sappiamo che un’equazione differenziale del secondo ordine necessita di due costanti iniziali. Posizione e velocità.
Scegliamo quindi:
Posizione 10 mt
V1 iniziale 0,0 mt/sec
Deduciamo la V2 compatibilmente con l’equazione R2 che qui ripeto:
$R2cdots cdots v_(2)-v_(1) = -omega^2x_(1)Delta t –beta/mv_(1)Delta t + C/mDelta t$
Per farlo dobbiamo scegliere un intervallo di tempo (step) tale da rendere per noi soddisfacente il grafico della funzione. Se lo scegliamo troppo piccolo la rappresentazione in tabella diventa incredibilmente lunga e ci fa perdere la visione dell’andamento complessivo.
Comunque sta a noi deciderlo e perciò diciamo che va bene un passo di calcolo effettuato ogni 0,2 sec.
Con questa scelta avremo V2 = -11,96 mt/sec e, se uno bada bene alla R2 si accorge che a determinare il valore V2 concorre il $C/m$ ovvero la forza peso COSTANTE. Nella equazione R4 questo termine scompare ma i suoi effetti sono ben presenti in tutta la successione.
A questo punto possiamo determinare il valore che si sottrae al “2” nella R4. Ovvero il fattore L.
Analogamente possiamo calcolare il fattore K sempre nella R4.
Si ha L = 1,60 e K= -0,8.

Adesso la cosa si fa interessante. Vedremo il distendersi della sinusoide generata esclusivamente da numeri razionali senza nessun calcolo di seno o coseno o di esponenziale.
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Re: Suggestive successioni di interi

Messaggioda Vincenzo10 » 26/10/2016, 08:29

La formula di ricorrenza genera un moto armonico.
Nel post precedente ho considerato un peso legato mediante una molla a un punto origine. Il peso inizialmente è tenuto fermo sotto la tensione della molla, in alto, a 10 mt secondo un asse verticale orientato verso l’alto. Su di lui - finché è fermo – agiscono due forze. La forza peso di -9,8 Nw e la forza di richiamo elastica che in quel punto vale -50Nw. Nel momento in cui viene lasciato – senza spinta – si manifesta una forza d’attrito viscoso proporzionale alla velocità che man mano viene raggiunta. All’inizio è 0 perché è fermo, ma dopo 0,2 sec, quando la velocità ha raggiunto V2 = -11,96 mt/sec, tale terza forza vale +11,96 Nw ed è puntata verso l’alto.
Come mostrato nel post l’evoluzione successiva è guidata dalla formula di ricorrenza
$R5cdots cdots cdots V_(n+1)=1,60V_(n)-0,8V_(n-1)$
Da cui ricaviamo la successione di numeri razionali:
$0; -11,96; -19,136; -21,0496; -18,37056; -12,553216; -5,3886976; +1,42065664; cdots cdots $
In corrispondenza dei tempi: $0;0,2;0,4;0,6; 0,8;1,0; 1,2;1,4 cdots cdots cdots $
Nel grafico che segue in rosso è l’andamento della velocità istantanea e in verde la posizione del punto materiale. La posizione è ricavata semplicemente moltiplicando la velocità per lo step temporale più la posizione precedente.
$10,00;7,61;3,78;-0,43;-4,10;-6,61;-7,69 cdots cdots $


        Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico



E’ veramente meraviglioso constatare con quanta semplicità ed eleganza si ottiene la soluzione generale dell’equazione armonica.
Tuttavia bisogna essere ben sicuri che il grafico ottenuto si sovrapponga a quello ottenuto mediante le funzioni sinusoidali. Il che comporta una valutazione critica che per il momento non intendo svolgere.
Mi preme far notare che se la pulsazione è zero insieme alla forza d’attrito viscoso la R5 diventa:
$R6cdots cdots cdots V_(n+1)=2*V_(n)-1*V_(n-1)$
Essa rappresenta una variazione costante della velocità decisa solo dai primi due valori. Ciò accade quando un corpo è soggetto esclusivamente a una forza costante e costituisce il cosiddetto moto uniformemente accelerato.
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Re: Suggestive successioni di interi

Messaggioda Vincenzo10 » 02/11/2016, 09:06

Caro Erasmus.
Penso che quel che sto per esporre meriterà certamente un tuo gradito apprezzamento.
Tutto ciò che, post dopo post, ho esposto su questo argomento nasce da una successione che ho inventato io. Almeno così mi sembra, allo stato attuale delle mie conoscenze.
Questa successione di interi positivi è
$Q1$
$ 0,1,2,5,12,29,70, 169, cdots cdots cdots$

E’ generata dalla formula di ricorrenza $Q2cdots cdots cdots a_(n+1)=2*a_(n)+a_(n-1)$ e da una scelta arbitraria iniziale dei primi due termini $a_(1)= 0 $ e $ a_(2)=1$
Passo a dimostrare due proprietà .
Consideriamo un insieme di 4 numeri legati tra loro dalla formula di ricorrenza Q2 appartenenti idealmente a una successione: $Q3cdots cdots cdots a_(n-1), a_(n),a_(n+1),a_(n+2)$.
Questo spezzone di successione, per evitare il noioso simbolismo con gli indici lo indicherò meglio con quattro lettere. $Q3cdots cdots cdots s,q,a,b$

Proprietà 1: In una successione di numeri REALI o INTERI di tipo Q3 generati dalla formula di ricorrenza Q2 si ha che: $as+bq=a^2+q^2$ che si può scrivere $as-q^2=-1(bq-a^2) = pm E$ in cui E è una costante il cui significato vedremo dopo.
Dimostrazione: Per sostituzione si ha: $as=2qs+s^2$
$bq=2aq+q^2$ da cui $as+bq= sa+2qa+q^2=a(2q+s)+q^2=a^2+q^2$
CDD

Proprietà 2: In una successione di numeri REALI di tipo Q3 linearmente dipendenti secondo la Q2 accade che se $Q4cdotscdotscdotsa+q=sqrt(2)*a$
allora anche i numeri s e q generati dalla formula di ricorrenza Q2 $a=2q+s$ soddisfano alla stessa equazione
$q+s=sqrt(2)*q$.
Nota bene che la $sqrt(2)$ è individuata da numeri positivi e perciò è di segno più senza ambiguità.
Ecco i passaggi:
I° membro della Q4 $a+q=2q+s+q$
II° membro della Q4 $sqrt(2)*a=sqrt(2)*2q+sqrt(2)s$
Se $2q+s+q=sqrt(2)*2q+sqrt(2)s$ allora $q=(sqrt(2)-1)*2q+(sqrt(2)-1)*s$ e quindi $(sqrt(2)+1)q=2q+s$ e poi $(sqrt(2)+1)q-q=q+s$ e infine $sqrt(2)*q=q+s$ CDD

Alla luce di queste due proprietà affrontiamo adesso il tema della convergenza della successione derivata dalla $Q1$ che chiamiamo $R$ perché ottenuta dai rapporti del tipo antecedente/successivo $R_(n) = a_(n)/a_(n+1)$.
Uno dei criteri generali di convergenza è dato dalla dimostrazione che la quantità $│R_(n-1)-R_(n)│$ possa essere resa infinitesima al crescere dell’indice n.
Usando il nostro simbolismo, si tratta di dimostrare che $│s/q-q/a│$ tende a zero. Il che si ottiene sviluppando la differenza $│s/q-q/a│ =│( as-q^2)/(aq)│$
Qui noi applichiamo la proprietà 1. $│as-q^2│= │pm E│=E$. Essa consente di evidenziare una COSTANTE che chiamiamo E il cui modulo è una caratteristica della successione. Il segno di tale costante non è determinabile per via simbolica, ovvero se non si conosce l’indice n o proprio i numeri effettivi. Ma poiché ai fini del criterio vale il modulo della differenza tra i rapporti, si ha che $│s/q-q/a│ =│( as-q^2)/(aq)│=E/(aq)$
Questo è sufficiente per dimostrare la convergenza poiché al crescere dell’indice della successione primitiva i valori a e q aumentano indefinitamente mentre il numeratore E resta lo stesso.
Il valore di E è fissato dalla prima coppia di numeri – interi o reali che siano - che viene scelta per creare la successione. Il suo peso relativo viene ridotto progressivamente. E’ ciò che ho chiamato principio di segregazione.
Vediamo alcuni esempi di terne iniziali.
Es. 1 $ 0,1,2 $ implica E = -1; Es. 2 $ 1,1,3 $ implica E = +2 Es. 3 $ 2,1,4 $ implica E = +7
Es. 4 $ 1,0,1 $ implica E = +1; Es. 5 $ 2,0,2 $ implica E = +4
Es. 6 già visto precedentemente $ 5,2,9 $ implica E = +41
Dalla semplice esperienza si può notare che non è possibile avviare una successione di INTERI con errore E =0.
Gli interi possono dar luogo a dei rapporti convergenti a un limite reale, ma non possono evitare di contenere un errore, una specie di peccato originale, fin dalla prima terna.
In compenso, visto che non c’è limite all’entità dell’errore originale si può avviare la successione con una scelta completamente arbitraria di due interi (positivi in questo nostro contesto).
Una volta commesso l’errore originale arrangiando la prima terna, lo sviluppo della successione provvederà a ridurlo sempre di più – in altre parole segregandolo nei primi termini - fino ad ottenere un rapporto di convergenza quasi perfetto ovvero perfetto fin che si vuole.

D’altra parte se noi avessimo già due numeri REALI tali che $a+q=sqrt(2)*a$ in base alla seconda proprietà potremmo sempre derivare altri due precursori tali che $q+s=sqrt(2)*q$.
Di conseguenza dalle due uguaglianze si avrebbe $(a+q)/a=(q+s)/q$ e dunque $q/a=s/q$ e quindi E = 0. Possiamo quindi pensare che si possa costruire una successione di numeri reali con errore zero fin dall’inizio. Insomma una successione che mantiene una catena di rapporti di tipo antecedente/successivo tutti uguali e perfetti.
Per generare la terna iniziale abbiamo due possibilità-
Prima possibilità: Scegliamo il primo numero che chiamiamo “p”, il secondo lo chiamiamo “x” e il terzo, generato dalla ricorrenza, sarà $ 2x+p$. La terna deve soddisfare la prima proprietà con E= 0. Perciò $E=(2x+p)*p-x^2 =0$ implica $x= p(sqrt(2)+1)$. La terna è $p,p(sqrt(2)+1), 2p(sqrt(2)+1)+p$
NB. Dobbiamo rifiutare il segno – davanti alla radice che renderebbe negativa tutta la soluzione. Il che, ripeto, non è compatibile con una successione di numeri Reali o interi POSTIVI.

Seconda possibilità: Scegliamo il primo numero che chiamiamo “x”, il secondo lo chiamiamo “p” e il terzo, generato dalla ricorrenza, sarà $ 2p+x$. Perciò $E=(2x+p)*p-x^2 =0$ implica $x= p(sqrt(2)-1)$. La terna è $p(sqrt(2)-1), p, 2p +p(sqrt(2)-1)$
NB. Dobbiamo sempre rifiutare il segno – davanti alla radice.

Esempio numerico:
Se il primo numero scelto da noi vale 1, il secondo lo chiamiamo x e il terzo, generato dalla ricorrenza, vale $2x+1$, la terna che soddisfa il criterio di E= 0 è: $1,(1+sqrt(2)), 3+2sqrt(2)$.

Nel prossimo post mi riprometto di generalizzare le due proprietà che ho esposto oggi.
Se continuate a seguirmi, scopriremo insieme vere e proprie magie dei numeri interi.
Vincenzo10
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