Suggestive successioni di interi
Inviato: 02/10/2016, 21:20
La diagonale di un quadrato è incommensurabile con il lato. Vuol dire che non esiste alcun segmentino che faccia da unità di misura $bar(u)$ e che possa essere riportato un numero intero di volte sul lato e un altro intero di volte sulla diagonale. Ovvero tale che $d=p*bar(u) $ e $ l=n*bar(u)$ con $p$ ed $n$ interi.
La relazione pitagorica tra segmenti geometrici $d^2=2*l^2$ diventa $p^2=2n^2 $ $ cdots [1]$ ovvero una relazione tra numeri interi che non può essere soddisfatta da nessuna coppia di numeri interi.
Ma supponiamo – per assurdo – che ci sia una coppia del genere e tramite un percorso originale proviamo a trovarla.
Con riferimento alla [1] scomponiamo $p$ nella somma $p=n+q$ in cui $n$ è l’intero che rappresenta il lato e $q$ quel che manca alla diagonale (intero anche lui).
Si ha allora che il $I^°$ membro della [1] diventa $(n+q)^2=n^2+2nq+q^2$
La [1] diventa $2nq+q^2=n^2 $ $ cdots [2]$ nelle variabili $n$ e $q$.
Adesso se scomponiamo ulteriormente $n$ nel modo seguente : $n=2*q+s$ $cdots [3]$ in cui $q$ ed $s$ sono interi e andiamo a sostituire nella [2] otteniamo:
I° membro $2q*(2q+s)+q^2=4q^2+2qs+q^2$
II° membro $(2q+s)^2=4q^2+4qs+s^2$
Da cui si ricava $2qs+s^2=q^2 $ $ cdots cdots [4] $ che è la stessa equazione [2] tra le variabili intere “derivate” $q$ ed $s$ al posto di $n$ e $q$.
Se io continuo spezzando $q$ in $s$ e $t$ secondo lo stesso criterio per cui $q=2*s+t $ $cdots cdots [5]$
ottengo $2st+t^2=s^2 $ $cdots cdots [6] $ sempre la stessa relazione tra variabili intere derivate di valore però sempre più piccolo rispetto alle originarie $n$ e $q$ .
Perciò se io ora capovolgo il procedimento e anziché partire da $n$ e $q$ parto da una coppia “piccola” di interi – scelta arbitrariamente - e applico la [5] in modo progressivo anziché in modo regressivo dovrei ottenere una relazione di tipo [2] sempre più soddisfatta man mano che la successione cresce.
Siccome gli interi (sempre positivi in questo contesto) più piccoli sono $0$ e $1$ partirò da lì per ottenere la seguente successione:
Veramente molto ma molto interessante perché il penultimo più l’ultimo termine rappresenta la diagonale ( o meglio un’approssimazione della diagonale) ovvero $n+q$ e l’ultimo rappresenta il lato ovvero $n$. Il rapporto tra loro è la radice di 2 sempre meglio approssimata man mano che la successione di interi aumenta. Provare per credere.
Niente male non è vero? Ma vedremo a cosa ci porta una impostazione del genere…….
La relazione pitagorica tra segmenti geometrici $d^2=2*l^2$ diventa $p^2=2n^2 $ $ cdots [1]$ ovvero una relazione tra numeri interi che non può essere soddisfatta da nessuna coppia di numeri interi.
Ma supponiamo – per assurdo – che ci sia una coppia del genere e tramite un percorso originale proviamo a trovarla.
Con riferimento alla [1] scomponiamo $p$ nella somma $p=n+q$ in cui $n$ è l’intero che rappresenta il lato e $q$ quel che manca alla diagonale (intero anche lui).
Si ha allora che il $I^°$ membro della [1] diventa $(n+q)^2=n^2+2nq+q^2$
La [1] diventa $2nq+q^2=n^2 $ $ cdots [2]$ nelle variabili $n$ e $q$.
Adesso se scomponiamo ulteriormente $n$ nel modo seguente : $n=2*q+s$ $cdots [3]$ in cui $q$ ed $s$ sono interi e andiamo a sostituire nella [2] otteniamo:
I° membro $2q*(2q+s)+q^2=4q^2+2qs+q^2$
II° membro $(2q+s)^2=4q^2+4qs+s^2$
Da cui si ricava $2qs+s^2=q^2 $ $ cdots cdots [4] $ che è la stessa equazione [2] tra le variabili intere “derivate” $q$ ed $s$ al posto di $n$ e $q$.
Se io continuo spezzando $q$ in $s$ e $t$ secondo lo stesso criterio per cui $q=2*s+t $ $cdots cdots [5]$
ottengo $2st+t^2=s^2 $ $cdots cdots [6] $ sempre la stessa relazione tra variabili intere derivate di valore però sempre più piccolo rispetto alle originarie $n$ e $q$ .
Perciò se io ora capovolgo il procedimento e anziché partire da $n$ e $q$ parto da una coppia “piccola” di interi – scelta arbitrariamente - e applico la [5] in modo progressivo anziché in modo regressivo dovrei ottenere una relazione di tipo [2] sempre più soddisfatta man mano che la successione cresce.
Siccome gli interi (sempre positivi in questo contesto) più piccoli sono $0$ e $1$ partirò da lì per ottenere la seguente successione:
$0,1,2,5,12,29,70,169…….$
Veramente molto ma molto interessante perché il penultimo più l’ultimo termine rappresenta la diagonale ( o meglio un’approssimazione della diagonale) ovvero $n+q$ e l’ultimo rappresenta il lato ovvero $n$. Il rapporto tra loro è la radice di 2 sempre meglio approssimata man mano che la successione di interi aumenta. Provare per credere.
Niente male non è vero? Ma vedremo a cosa ci porta una impostazione del genere…….