Re: Suggestive successioni di interi
Inviato: 17/11/2016, 10:10
Una proprietà generale di queste successioni
Riprendo il discorso lasciato nel post precedente e ringrazio chi mi ha seguito fin qui.
Consideriamo una successione di numeri qualsiasi generate da un formula di ricorrenza del tipo:
$R1cdots cdots cdots a_(n+1)=L*a_(n)+K*a_(n-1)$ in cui $L$ e $K$ sono due parametri non necessariamente interi
e da una scelta arbitraria iniziale dei primi due termini $a_(1)$ e $ a_(2)$
Dati quattro elementi consecutivi della successione si ha sempre:
$K* a_(n)*a_(n+2)-K* a_(n+1)^2+a_(n+1) a_(n+3)-a_(n+2)^2= 0$
La dimostrazione, non difficile, la lascio a voi che mi leggete.
Esempio n. 1 $L=5; K=2$ scelta iniziale $ a_(1)=0; a_(2)=1$
Incipit della successione $0;1;5;27;145; 779; 4185; cdots cdots cdots $
Scegliamo la quaterna $a_(1);a_(2);a_(3);a_(4)$
Calcoliamo quindi: $ K*a_(1)*a_(3)-K* a_(2)^2+a_(2) a_(4)-a_(3)^2 = 2*(0*5-1^2)+(1*27-5^2) = -2 +2 =0 $
Scegliamo la quaterna $a_(2);a_(3);a_(4);a_(5)$
Calcoliamo quindi: $ K*a_(2)*a_(4)-K* a_(3)^2+a_(3) a_(5)-a_(4)^2 = 2*(1*27-5^2)+(5*145-27^2) = 4 -4 =0 $
Esempio n. 2 $L=5; K=2$ scelta iniziale $ a_(1)=1; a_(2)=0$
Incipit della successione $1;0;2;10;54; 290; 1558; cdots cdots cdots $
Scegliamo la quaterna $a_(1); a_(2); a_(3); a_(4)$
Calcoliamo quindi: $ K*a_(1)*a_(3)-K* a_(2)^2+a_(2) a_(4)-a_(3)^2 = 2*(1*2-0^2)+(0*10-2^2) = 4-4 =0 $
Scegliamo la quaterna $a_(2); a_(3);a_(4);a_(5)$
Calcoliamo quindi: $ K*a_(2)*a_(4)-K* a_(3)^2+a_(3) a_(5)-a_(4)^2 = 2*(0*10-2^2)+(2*54-10^2) = -8+8 =0 $
Riprendo il discorso lasciato nel post precedente e ringrazio chi mi ha seguito fin qui.
Consideriamo una successione di numeri qualsiasi generate da un formula di ricorrenza del tipo:
$R1cdots cdots cdots a_(n+1)=L*a_(n)+K*a_(n-1)$ in cui $L$ e $K$ sono due parametri non necessariamente interi
e da una scelta arbitraria iniziale dei primi due termini $a_(1)$ e $ a_(2)$
Dati quattro elementi consecutivi della successione si ha sempre:
$K* a_(n)*a_(n+2)-K* a_(n+1)^2+a_(n+1) a_(n+3)-a_(n+2)^2= 0$
La dimostrazione, non difficile, la lascio a voi che mi leggete.
Esempio n. 1 $L=5; K=2$ scelta iniziale $ a_(1)=0; a_(2)=1$
Incipit della successione $0;1;5;27;145; 779; 4185; cdots cdots cdots $
Scegliamo la quaterna $a_(1);a_(2);a_(3);a_(4)$
Calcoliamo quindi: $ K*a_(1)*a_(3)-K* a_(2)^2+a_(2) a_(4)-a_(3)^2 = 2*(0*5-1^2)+(1*27-5^2) = -2 +2 =0 $
Scegliamo la quaterna $a_(2);a_(3);a_(4);a_(5)$
Calcoliamo quindi: $ K*a_(2)*a_(4)-K* a_(3)^2+a_(3) a_(5)-a_(4)^2 = 2*(1*27-5^2)+(5*145-27^2) = 4 -4 =0 $
Esempio n. 2 $L=5; K=2$ scelta iniziale $ a_(1)=1; a_(2)=0$
Incipit della successione $1;0;2;10;54; 290; 1558; cdots cdots cdots $
Scegliamo la quaterna $a_(1); a_(2); a_(3); a_(4)$
Calcoliamo quindi: $ K*a_(1)*a_(3)-K* a_(2)^2+a_(2) a_(4)-a_(3)^2 = 2*(1*2-0^2)+(0*10-2^2) = 4-4 =0 $
Scegliamo la quaterna $a_(2); a_(3);a_(4);a_(5)$
Calcoliamo quindi: $ K*a_(2)*a_(4)-K* a_(3)^2+a_(3) a_(5)-a_(4)^2 = 2*(0*10-2^2)+(2*54-10^2) = -8+8 =0 $