Un gruppo di funzioni...

[dan95]

Sia $f: D \mapsto RR$ una funzione continua definita in $D \sube RR$. L'insieme $F_f={\varphi : D \mapsto D\ biunivoca |\ f(\varphi(x))=f(x)}$ con l'operazione di composizione di funzioni $\ast$ formano un gruppo $G_f=(F_f,\ast)$.

1) Associatività: ereditata
2) Elemento neutro: $Id_D$
3) Inversa: per biiettività

Esempio:
$f(x)=\sin(x)$
$F_{\sin(x)}={x+2\pi n, n \in ZZ}$
$G_{\sin(x)} \cong ZZ$

[dissonance]

Ma è un esercizio o una osservazione? In effetti quello è un sottogruppo del gruppo delle bigezioni di $D$ in sé, e immagino che si possa realizzare come lo stabilizzatore di $f$ rispetto all'azione
\[
g\cdot f = f(g(x)), \qquad g\colon D\to D \ \text{bigettiva}.\]
Con questa definizione il gruppo delle bigezioni di $D$ agisce sullo spazio delle funzioni definite in $D$ e a valori reali. Credo che l'ipotesi di continuità non serva a niente, a questo livello

[dan95]

È un pensiero che volevo generalizzare a funzioni di variabile complessa.

[dissonance]

È una costruzione che puoi fare completamente in astratto.

[dan95]

Prendiamo un insieme $X$, il gruppo delle sue biiettività $G_{X}={\varphi : X \mapsto X\ biiettiva}$ e $F={f: X \mapsto Y}$ l'insieme delle funzioni definite su $X$, il gruppo $G_{X}$ agisce su $F$ come abbiamo precedentemente detto:
$$(\varphi, f) \mapsto \varphi \cdot f=f • \varphi$$
E il gruppo di prima è semplicemente $St_f \leq G_X$...

Tutto questo è nato pensando che per una funzione olomorfa che possiede zeri coniugati (cioè se esiste $z \in CC$ tale che $f(z)=0$ allora $f(z^{\ast})=0$) risulta che $St_f$ possiede una applicazione che coniuga gli zeri...

[dissonance]

In generale, se hai un gruppo \(G\) che agisce su uno spazio geometrico \(M\) (un insieme con qualche struttura: topologica, differenziabile, Riemanniana ... ) allora la formula di cui sopra definisce una rappresentazione di \(G\) come gruppo di operatori lineari sullo spazio delle funzioni \(f\colon M\to \mathbb C\). Se \(M\) non è un insieme finito allora uno non considera tutto lo spazio di funzioni ma qualche sottospazio con delle proprietà aggiuntive, come ad esempio lo spazio delle funzioni a quadrato integrabile (ovvero, tali che \(\int_M |f(x)|^2\, dV(x)<\infty\) - questo richiede che su \(M\) sia definita una nozione di integrale).

Questa rappresentazione si può usare per dare un significato geometrico alle funzioni speciali della fisica matematica. È un argomento affascinante che non ho mai usato e che mi piacerebbe trovare l'occasione di studiare. Se ne hai voglia, dai un'occhiata a questo link:

http://math.stackexchange.com/q/1163032/8157

per un aperitivo.

[dan95]

Ok grazie del link