Curva di $\R^2$ soddisfacente alcune proprieta

[drughe]

Ciao a tutti, avrei un quesito da proporvi.

Premetto che ho finito l'universita da un po e quindi il formalismo non sara il massimo probabilmente, spero comunque che il problema sia ben posto, o per lo meno chiaro

Si trovi una curva nel piano ($\R^2$) soddisfacente le seguenti proprietà:

- che abbia inizio nel punto $A$
- che abbia fine nel punto $B$
- che abbia direzione $H_1$ nel punto $A$
- che abbia direzione $H_2$ nel punto $B$
- che abbia lunghezza totale $l$
- che abbia curvatura, in funzione di $l$, inferiore ad una data funzione $f(l)$ [eventualmente questo requisito potrebbe rilassarsi a $f(l)=c$ di valore costante]



è possibile risolvere questo problema? o stabilire se non esiste una soluzione in base a dati particolari?


grazie in anticipo a tutti





p.s.
la definizione di curvatura che ho in mente io non so se corrisponde a quella delle curve parametriche.
per curvatura io intendo il fatto che immaginando di discretizzare la curva in punti successivi a distanza $d$, la direzione dei due punti non può variare più di una certa quantità.

[dissonance]

Spulcia un po' questo libro, credo che ci sia la soluzione da qualche parte:

https://www.researchgate.net/publicatio ... _to_Spline

P.S.: Anche qui si parla della cosa che ho in mente:

https://en.wikipedia.org/wiki/Spline_interpolation

nell'introduzione, dove suggerisce che "le curve spline minimizzano la curvatura". Quindi può darsi che queste curve siano la soluzione al tuo problema. Se vuoi, e se ti è utile, potresti provare a cercare più informazioni nel libro di de Boor.

[drughe]

Ciao dissonance,

grazie della risposta, ma non riesco a capire come soddisfo la condizione 5 e 6 con le spline o con un qualsiasi polinomio...

inizialmente date le condizioni fino alla 5, avevo pensato di utilizzare un polinomio di grado 4, pero in questa maniera non saprei come soddisfare la 6sta proprietà...

Come pensavi di soddisfare tutte le proprietà? forse c'è qualcosa che mi sfugge...


Un altra possible cosa che avevo pensato era di fissare una certa distanza $d=l/n$, con $n$ fissato (per esempio 500), e partendo dal punto iniziale generare un numero fissato di punti possibili che rispettano la curvatura massima (diciamo 11 punti, 1 con stessa direzione 5 piu a sx e 5 piu a dx tutti a distanza $d$ dal punto di partenza), e cosi via... generati tutti questi $11^500$ punti elimino i percorsi che non mi portano a destinazione (o in un intorno) con la direzione voluta e fra i percorsi possibili scelgo uno di lunghezza $l$... pero sinceramente questo metodo non mi sembra il massimo in quanto a fattiibilita computazionale diciamo...

[dissonance]

Ti dico la verità, non lo so e non penso di poterci pensare in questi giorni. Suggerivo di spulciare un libro di spline perché secondo me qualcuno potrebbe averci pensato prima. Quanto alle spline, le citavo perché so che minimizzano la curvatura tra tutte le curve che verificano i primi quattro punti (dove la curvatura è intesa nel senso classico del termine, ossia come "derivata seconda geometrica"). Quindi siccome tu vuoi poca curvatura, prendere le spline potrebbe essere una buona idea.