Ciao a tutti!
C'è una questione che trovo particolarmente interessante e di cui si è già parlato ampiamente nel forum qui.
Sia $X$ uno spazio topologico. Sia $A = C(X)$ l'anello delle funzioni continue $X to RR$ dove in $RR$ c'è la topologia usuale e le operazioni sono definite puntualmente. Si tratta di un anello commutativo con unità.
Sia $Y = \mbox{Specmax}(A)$ l'insieme degli ideali massimali di $A$. Se $x in X$ consideriamo $v_x:A to RR$ che manda $f$ in $f(x)$, si tratta di un omomorfismo suriettivo di anelli quindi $m_x := ker(v_x)$ è un ideale massimale di $A$.
Sia $psi:X to Y$ definita da $psi(x) := m_x$.
Abbiamo visto (cf. il link di cui sopra) che se $X$ è compatto e di Hausdorff allora $psi$ è biiettiva. Inoltre $Y$ ha una topologia propria, chiamata topologia di Zariski, i cui chiusi sono gli insiemi della forma \( \displaystyle V(I) = \{m \in Y\ :\ m \supseteq I\} \) dove $I$ è un ideale qualsiasi di $A$. Questo definisce una topologia su $Y$ (la topologia di Zariski appunto). Abbiamo visto nel link sopra (anche se forse la dimostrazione non è correttissima, ma di sicuro funziona se $X$ è uno spazio metrico) che se $X$ è compatto e di Hausdorff allora $psi$ non solo è biiettiva, è un omeomorfismo.
Sia $X$ uno spazio topologico. La funzione $psi$ definita sopra è sempre continua e iniettiva e $\mbox{Specmax}(C(X))$ è quasi-compatto (ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito) - se volete fornisco la dimostrazione di questi classici fatti, di cui qualcosa potete trovare nel link sopra. La mia domanda adesso è la seguente: sotto quali condizioni $\mbox{Specmax}(C(X))$ è omeomorfo alla compattificazione di Stone-Cech (cf. qui) di $X$? Con $psi$ nel ruolo di inclusione strutturale. Siete liberi di usare i risultati che volete per rispondere, guardando in giro non trovo un enunciato pulito.
Per essere chiari, la compattificazione di Stone-Cech di uno spazio $X$ è uno spazio compatto e di Hausdorff $beta X$ con una funzione continua iniettiva (inclusione strutturale) $i:X to beta X$ e la proprietà universale seguente:
se $f:X to K$ è una funzione continua e $K$ è compatto e di Hausdorff allora esiste un'unica funzione continua $g:beta X to K$ tale che $g circ i = f$. Applicando tale proprietà universale all'inclusione di $i(X)$ nella sua chiusura in $beta X$ risulta chiaro che $i(X)$ è denso in $beta X$.