Stone-Cech vs Specmax

[Martino]

Ciao a tutti!

C'è una questione che trovo particolarmente interessante e di cui si è già parlato ampiamente nel forum qui.

Sia $X$ uno spazio topologico. Sia $A = C(X)$ l'anello delle funzioni continue $X to RR$ dove in $RR$ c'è la topologia usuale e le operazioni sono definite puntualmente. Si tratta di un anello commutativo con unità.

Sia $Y = \mbox{Specmax}(A)$ l'insieme degli ideali massimali di $A$. Se $x in X$ consideriamo $v_x:A to RR$ che manda $f$ in $f(x)$, si tratta di un omomorfismo suriettivo di anelli quindi $m_x := ker(v_x)$ è un ideale massimale di $A$.

Sia $psi:X to Y$ definita da $psi(x) := m_x$.

Abbiamo visto (cf. il link di cui sopra) che se $X$ è compatto e di Hausdorff allora $psi$ è biiettiva. Inoltre $Y$ ha una topologia propria, chiamata topologia di Zariski, i cui chiusi sono gli insiemi della forma \( \displaystyle V(I) = \{m \in Y\ :\ m \supseteq I\} \) dove $I$ è un ideale qualsiasi di $A$. Questo definisce una topologia su $Y$ (la topologia di Zariski appunto). Abbiamo visto nel link sopra (anche se forse la dimostrazione non è correttissima, ma di sicuro funziona se $X$ è uno spazio metrico) che se $X$ è compatto e di Hausdorff allora $psi$ non solo è biiettiva, è un omeomorfismo.

Sia $X$ uno spazio topologico. La funzione $psi$ definita sopra è sempre continua e iniettiva e $\mbox{Specmax}(C(X))$ è quasi-compatto (ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito) - se volete fornisco la dimostrazione di questi classici fatti, di cui qualcosa potete trovare nel link sopra. La mia domanda adesso è la seguente: sotto quali condizioni $\mbox{Specmax}(C(X))$ è omeomorfo alla compattificazione di Stone-Cech (cf. qui) di $X$? Con $psi$ nel ruolo di inclusione strutturale. Siete liberi di usare i risultati che volete per rispondere, guardando in giro non trovo un enunciato pulito.

Per essere chiari, la compattificazione di Stone-Cech di uno spazio $X$ è uno spazio compatto e di Hausdorff $beta X$ con una funzione continua iniettiva (inclusione strutturale) $i:X to beta X$ e la proprietà universale seguente:
se $f:X to K$ è una funzione continua e $K$ è compatto e di Hausdorff allora esiste un'unica funzione continua $g:beta X to K$ tale che $g circ i = f$. Applicando tale proprietà universale all'inclusione di $i(X)$ nella sua chiusura in $beta X$ risulta chiaro che $i(X)$ è denso in $beta X$.

[killing_buddha]

Una condizione sufficiente piuttosto ovvia e' che $X$ sia gia' compatto... pero' forse questa non e' la risposta che speravi.

Grazie alla dualita' di Gel'fand (che e' essenzialmente l'antiequivalenza di categorie che descrivi, che ha molte piccole e grandi varianti e generalizzazioni, come per esempio la dualita' di Stone, la dualita' di Isbell etc.) sai che la C*-algebra delle funzioni regolari e limitate su $X$[1], diciamo $C_b(X)$, e' isomorfa in \(C^*\text{-Alg}\) a una ben precisa C*-algebra della forma \(C(\bar X)\) (perche' $C(-)$ e' un funtore essenzialmente suriettivo). Lo spazio $\bar X$ ha esattamente la proprieta' universale di $\beta X$, e dunque e' canonicamente isomorfo ad esso. Se ora metti insieme questi fatti e $X\to \beta X$ e' la mappa canonica da $X$ alla sua Stone-Cech,
\[
Spec(C_b(X)) \cong \beta X \leftarrow X \cong Spec(C(X))
\]
e' un isomorfismo se e solo se lo e' $C_b(X)\to C(X)$, sicche' $X$ deve gia' essere compatto (se non lo e', puoi sempre trovare una funzione non limitata; qui e' dove ti serve abbastanza separazione su $X$: la proprieta' di essere \(T_3\frac{1}{2}\) implica che $X\subseteq \beta X$, ovvero a livello delle algebre che $C_b(X)\subset C(X)$, con inclusioni proprie). Ora, $C_b(X)\subseteq C(X)$ e' un isomorfismo se, e solo se, $X\cong \beta X$, ovvero se, e solo se, $X$ e' compatto.

[1] $X$ qualsiasi non va bene: ti serve che $X$ sia completamente regolare, detto anche \(T_3\frac{1}{2}\), ovverosia Hausdorff e tale che dato un chiuso $K$ e un punto esterno $p$ esiste sempre una funzione continua $f : X \to \mathbb R$ per cui \(f^{-1}(0)=K \) e \( f^{-1}(1)=p\).

[killing_buddha]

La costruzione della compattificazione di Stone-Cech si generalizza, poi, al caso noncommutativo mediante le algebre dei moltiplicatori: https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_algebra