Logica: implicazione materiale

[MMarco]

Buongiorno a tutti,
vorrei sottoporvi un tema che non riesco a risolvere.
Sto studiando l'implicazione materiale p -> q.
Dalla sua tabella di verità si evince che, nel caso in cui p=F e q=F, p->q è vera.
La applico allora alla seguente situazione:
p = f(x) derivabile
q= f(x) continua
Chiaramente p -> q.
Stando alla tabella di verità dovrebbe essere vera l'implicazione
se f(x) non è derivabile allora f(x) non è continua
Che però non è vera!
Dove sbaglio?

Grazie anticipate a chi vorrà aiutarmi

[bub]

Bisogna fare attenzione perché

$(DERIVABILE(f) -> CONTINUA(f))$

non è una proposizione. $f$ è libera (e non è una costante, insomma non è specificato la funzione quale sarebbe), questa è una formula aperta. $DERIVABILE(f)$ da sola (senza assegnare ad $f$ una funzione specifica) non è una proposizione, e nemmeno $CONTINUA(f)$ da sola è una proposizione. (E' vero che normalmente lo si omette il quantificatore ma lo si sottintende comunque, se lo fai sparire poi non si capisce più nulla).
Quella che segue è una proposizione vera e propria alla quale si può assegnare un valore di verità...

$ \forall f:\mathbb{R} -> \mathbb{R} (DERIVABILE(f) -> CONTINUA(f))$

ma questa non ha la forma di un'implicazione perché c'è un quantificatore universale che la chiude. In realtà quando c'è un quantificatore universale bisognerebbe tradurre l'affermazione in tante affermazioni specifiche (anche un'infinità a seconda del dominio) che hanno la forma di implicazioni. Con l'universale è come se le si affermasse la verità di tutte proposizioni che hanno la forma di implicazioni in un colpo solo.

Esemplificando l'universale con una funzione specifica, che so la funnzione $g (x) = x$ otteniamo una proposizione che ha la forma di un'implicazione...

$DERIVABILE(g) -> CONTINUA(g)$

che è vera nel caso specifico perché $DERIVABILE(g)$ è vera e $CONTINUA(g)$ è vera.
devi specificare però la funzione quale sarebbe e così ottieni un'affermazione che ha la forma di un'implicazione (così puoi verificare che la tavola di verità è corretta).
Se esemplifichi l'universale con una funzione specifica $g_1$ per cui $DERIVABILE(g_1)$ è falsa e $CONTINUA(g_1)$ è falsa
è vero che valgono allo stesso tempo

$DERIVABILE(g_1) -> CONTINUA(g_1)$

$CONTINUA(g_1) -> DERIVABILE(g_1)$

Ma non puoi generalizzare quest'ultima affermazione a tutte le funzioni dato che $g_1$ è una funzione specifica, queste affermazioni sono relative solo alla funzione specifica $g_1$. Non so se sono riuscito a chiarire la cosa.
Delle affermazioni sembrano avere la forma di implicazioni perché c'è il connettivo $->$ dentro, ma non hanno questa forma qua, bisogna passare alla logica che fa uso dei quantificatori per interpretarle correttamente, non si può assegnare un valore di verità alle sotto proposizioni usando soltanto le tavole di verità perché non hanno vere e proprie sotto proposizioni.

[anto_zoolander]

Per trattare un po' più sinteticamente $P=>Q$

Considera che una dimostrazione ti porta al fatto che se è vero l'antecedente, è vero il conseguente, punto.
In poche parole $Q$ dipende dall'essere vera $P$, ovvero che al verificarsi di $P$ si verifica $Q$
Quello che dici tu è chiederti se $~P=>~Q$ questo sarebbe vero se le due implicazioni fossero equivalenti per ogni valore di verità di ciascuna proposizione che compone l'implicazione.

P Q
V F
F V.
F F.
V V.

P=>Q
F
V
V
V

~P=>~Q
V
F
V
V

Che non sono logicamente equivalenti
Quindi non puoi dire che la falsità di $P$ implichi la falsità di $Q$
Nel tuo caso non puoi dire che se $f$ non sia derivabile allora non sia nemmeno continua
Questo significa che $Q$ potrebbe essere tranquillamente anche vera

È come dire ' se ho la patente allora ho almeno 18 anni'
Ma è vero che 'se non ho la patente allora ho meno di 18 anni'?
No perchè potrei tranquillamente non avere la patente ma avere 18 anni

Infatti nella implicazione usata per dimostrare un teorema si chiamano $Q$ condizione necessaria e $P$ condizione sufficiente
Condizione sufficiente, perché appunto il suo verificarsi è sufficiente affinchè si verifichi $Q$
Condizione necessaria, perché se $Q$ è falsa, allora anche $P$ deve essere falsa, poiché se $P$ fosse vera allora $Q$!dovrebbe anche essa essere vera e quindi da questo il fatto che $Q$ sia necessaria per $P$

Nel tuo esempio, se $f$ non è continua, allora non può essere derivabile, perché se lo fosse sarebbe anche continua!

Spero che GD non mi uccida